Question

Assinale a alternativa que possui a área de um octógono regular de lado 5 cm. (tan 22,5° = 0,41) *
A 121,95 cm²
B 182,43 cm²
C 122,93 cm²
D 167,89 cm²
E 82,49 cm²

Answer 1

Primeiro é necessário desenhar um octógono regular, que é um polígono de 8 lados onde todos os ângulos internos são iguais. (Anexarei a imagem do octógono). Utilizando a relação da soma dos ângulos internos, sabemos que:

$\sf \underbrace{S_i = 180 . (n - 2)}_{n = 8 \: lados} \: \: \to \: \: S_i = 180 . (8 - 2) \\ \\ \sf S_i = 180 . (6) \: \: \to \: \boxed{ \sf \: S_i = 1080 {}^{o} }$

Como são 8 lados, basta dividir a soma dos ângulos internos por 8, onde resultará no ângulo individual de cada lado do polígono:

$\sf \frac{1080 {}^{o} }{8} = 135 {}^{o} \: cada \: lado$

Vale ressaltar também que ele é formado por 8 triângulo isósceles, isto é, um triângulo que possuem dois lados iguais (ângulos também) e um lado diferente (ângulo também). Desenhando os ângulos no triângulo, notamos que ele possui dois ângulos iguais de 67,5° e um de 45°, traçando uma bissetriz que divide o ângulo de 45° em duas partes iguais, obtemos o ângulo de 22,5° em cada lado, dado esse que é fornecido na questão. Note que dois triângulos retângulos foram formados, o que facilita o cálculo da altura do triângulo isósceles em si. Utilizando a relação da tangente, temos que:

$\sf tg( \theta) = \frac{CO}{ CA} \: \: \to \: \: tg(22.5 {}^{o} ) = \frac{2.5}{x} \\ \\ \sf 0.41 = \frac{2.5}{x} \: \: \to \: \: 0.41 x = 2.5 \\ \\ \sf x = \frac{2.5}{0.41} \: \: \to \: \: \boxed{ \sf x = 6.097}$

Portanto esta é a altura. Substituindo esse dado na relação da área de um triângulo, temos:

$\sf A = \frac{b \: . \: h}{2} \: \to \: \: A = \frac{6.097 \: . \: 5}{2} \\ \\ \sf A = \frac{30.485}{2} \: \: \to \: \: \boxed{\sf A = 15.24 \: cm {}^{2} }$

Como eu havia dito, são oito triângulo iguais. Já que sabemos a área de um deles, basta multiplicar a mesma por 8:

$\sf A = 15.24\times \: 8 \: \: \to \: \: \boxed{\sf A = 121.92 cm {}^{2} }$

Devido a arredondamentos, a alternativa que mais se aproxima desta é a letra a), portanto podemos considera-la como resposta.

• Resposta: Letra a)