Question

Assinale a alternativa que indicada, aproximadamente, as coordenadas do centro de massa da placa abaixo, sabendo que a mesma tem densidade e espessura uniforme.Leitura Avançada (1 Ponto) Xcm = 8,1 cm / Ycm = 6,4 cm Xcm = 2,0 cm / Ycm = 1,6 cm Xcm = 12,3 cm / Ycm = 9,4 cm Xcm = 4,1 cm / Ycm = 3,2 cm Xcm = 16,4 cm / Ycm = 12,8 cm

Answer 1

Resposta:

D) Xcm = 4,1 cm / Ycm = 3,2 cm

Explicação:

Olá André, tudo certo?

Primeiramente, devemos saber que o centro de massa de um retângulo sempre é dado por:

Xcm = x/2

Ycm = y/2

Ou seja, metade da coordenada total tanto em X quanto em Y. Visto que na figura não temos exatamente um retângulo, vamos dividí-lo em duas partes, conforme o anexo, e chamá-las de figura 1 e figura 2.

• Centro de Massa da Figura i:

O tamanho total do retângulo 1 é de Xi= 10 cm e Yi= 4 cm. Logo, seu centro de massa será:

X1cm= 10/2 = 5 cm

Y1cm = 4/2 = 2 cm

• Centro de Massa da Figura 2:

O tamanho total do retângulo 2 será de X2= 2 cm e Y2= 6 cm. Observe que o centro de massa deve ser sempre calculado em referência a origem do sistema escolhida. Desse modo, o cálculo será levemente diferente:

X2cm = 2/2 = 1 cm

Y2cm = 4 + (6/2) = 4 + 3 = 7 cm

• Centro de Massa da Placa:

Agora que temos o centro de massa das figuras 1 e 2 que calculamos indivualmente, precisamos calcular o CM da placa como um todo. Isso só é possível aplicando as seguintes fórmulas:

$X_{CM} =\frac{S(xi*Ai)}{SAi} \\Y_{CM} =\frac{S(yi*Ai)}{SAi}$

Considere S como Somatório (símbolo ∑) e A como a área de cada um dos retângulos. A área será dada por:

Figura 1 = 4 * 10 = 40 cm²

Figura 2 = 6 * 2 = 12 cm²

Agora aplicando nas fórmulas:

$X_C_M = \frac{(5*40)+(1*12)}{40+12} \\\\Y_C_M = \frac{(2*40)+(7*12)}{40+12} \\\\\\X_C_M = \frac{200+12}{52} \\\\Y_C_M = \frac{80+84}{52}$

Portanto:

$X_C_M = 4,08 cm \\\\Y_C_M = 3,15 cm$

Fazendo o arredondamento para se encaixar nas alternativas dadas:

A) Xcm = 8,1 cm / Ycm = 6,4 cm

B) Xcm = 2,0 cm / Ycm = 1,6 cm

C) Xcm = 12,3 cm / Ycm = 9,4 cm

D) Xcm = 4,1 cm / Ycm = 3,2 cm

E) Xcm = 16,4 cm / Ycm = 12,8 cm

Temos então que a letra D é a correta. Espero que tenha ajudado!