Question

assinale a alternativa que indica:
$\int\limits^a_b {\frac{x^{2} }{x^{3 - 1} } }dx.$

1- $\frac{1}{3 } ln(x^{3} - 1 )+ C$
2- ln(x³-1)+C
3- 1/3x² ln (x³-1)+C
4- X² ln (x³ -1) +C
5- x³ ln (x³-1)+C

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int\limits^a_b {\frac{x^{2} }{x^{3 } - 1} }dx$

Para resolver essa Integral, podemos usar o método da substituição. Esse tal método pode ser usado quando tem-se a função e a sua derivada, como podemos observar a função é (x³ - 1) e a sua derivada é x², já que vamos derivar x³ - 1, vamos chamar ele de "u" e derivá-lo:

$u = x {}^{3 } - 1 \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x {}^{3} - 1) \\ \\ \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 3x {}^{2} \longleftrightarrow du = 3x {}^{2}dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Não temos 3x², mas sim x², então podemos passar esse "3" dividindo "du":

$du = 3x {}^{2} dx\longleftrightarrow \frac{du}{3} = x {}^{2} dx$

Fazendo as substituições de "u":

$\int\limits^a_b {\frac{x^{2} }{x^{3 } - 1} }dx\longleftrightarrow \int\limits^a_b \frac{ \frac{du}{3} }{u}\longleftrightarrow \frac{1}{3}\int\limits^a_b \frac{du}{u}$

Observe que essa integral já é conhecida, caso não lembre, ela é desse tipo:

$\boxed{ \boxed{\int\limits \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C}}$

Aplicando essa integral preestabelecida:

$\frac{1}{3} \int\limits^a_b \frac{du}{u} = \ln |u| \longleftrightarrow \boxed{ \boxed{ \frac{1}{3} \ln |x {}^{3} - 1 | + C}}$

Portanto, vamos concluir que:

• Reposta: Alternativa 1