Question

Assinale a alternativa que indica a equação do plano tangente a superfície dada pela equação x2 +y2+z=9 no ponto P=
(1,2,4)
a. X+2y+4z=10
b. 2x+4y+z=14
C. 2x-4y+z=16
d. 2x-2y+z=9
e. 2x+4y+z=0
​

Answer 1

✅ Após ter desenvolvido todos os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à superfície do parabolóide, passando pelo ponto "P" - ponto de tangência - é:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 2x + 4y + z = 14\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:B\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases} \rho : x^{2} + y^{2} + z = 9\\P(1, 2, 4)\end{cases}$

Sabendo que para determinar a equação geral do plano "π" tangente à superfície de nível, precisamos do vetor normal "n" ao referido plano e o ponto de tangencia "P" entre o plano e a superfície, ou seja, precisamos dos seguintes itens:

               $\Large\begin{cases} \vec{n} = (X_{\vec{n}}, Y_{\vec{n}}, Z_{\vec{n}})\\P(X_{P}, Y_{P}, Z_{P})\end{cases}$

Sabendo que a equação geral do plano pode ser montada sobre a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$        $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$

OBSERVAÇÃO: A função "f" - que vou me referir a partir de agora - se refere a função que representa o parabolóide "p".

Para montar a referida equação do plano devemos utilizar as seguintes etapas:

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "x".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x} = 2\cdot x^{2 - 1} = 2x\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "y".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial y} = 2\cdot y^{2 - 1} = 2y\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "z".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial z} = 1\cdot z^{1 - 1} = 1\cdot z^{0} = 1\cdot 1 = 1\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente da função.

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x},\:\frac{\partial f}{\partial y},\:\frac{\partial f}{\partial z}\Bigg)\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2x, 2y, 1)\end{gathered}$

           Portanto, o vetor gradiente é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = (2x, 2y, 1)\end{gathered}$

• Montar o vetor normal à superfície.

        Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "P", ou seja:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = \nabla f(P)\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot X_{P}, \:\frac{\partial f}{\partial y}\cdot Y_{P},\:\frac{\partial f}{\partial z}\cdot Z_{P}\Bigg)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2\cdot1, 2\cdot 2, 1)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2, 4, 1)\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n} = (2, 4, 1)\end{gathered}$

• Montar a equação do plano tangente a referida superfície.

        Substituindo os valores na equação "I", temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot x + 4\cdot y + 1\cdot z = 2\cdot1 + 4\cdot2 + 1\cdot4\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 4y + z = 2 + 8 + 4\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 4y + z = 14\end{gathered}$

Portanto, a equação do plano tangente é:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: 2x + 4y + z = 14\end{gathered}$

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Solução gráfica:

Answer 2

Resposta:

A Reposta correta é; --->   2x+4y+z=14