Question

assinale a alternativa que equivale a equação diferencial:

dy/dx= y/x

Answer 1

Terás apenas que separar as variáveis e depois integrar:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} \\ \\ \\ dy = y \cdot \frac{1}{x} \, dx \\ \\ \\ \frac{dy}{y} = \frac{1}{x} \, dx \\ \\ \\ \frac{1}{y} \, dy = \frac{1}{x} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{y} \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx \\ \\ \\ \ln(y)+c' = \ln(x)+c'' \\ \\ \\ \ln(y)= \ln(x)+c''-c' \\ \\ \\ \ln(y)=\ln(x)+c$

Agora vamos aplicar uma propriedade de exponenciação para isolar o y:

$\ln(y)=\ln(x)+c \\ \\ \\ y=e^{\displaystyle \ln(x)+c} \\ \\ \\ y=e^{\displaystyle \ln(x)} \cdot e^{\displaystyle c} \\ \\ \\ y = x \cdot e^{\displaystyle c} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{y=x \cdot c}}$