Question

Assinale a alternativa que corresponde à expressão correta para y' no caso em que x³+y³=2xy:

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y - 3x^2}{3y^2 - 2x}$

Explicação passo-a-passo:

x³ + y³ - 2xy = 0

Derivada implícita y' (aplicando dy/dx em todos os termos)

$\dfrac{dx^3}{dx} + \dfrac{dy^3}{dx} - \dfrac{d(2xy)}{dx} = 0$

Regra da cadeia para resolver a derivada   $\dfrac{dy^3}{dx}$

$u = y\\\dfrac{du}{dx} = \dfrac{du}{dy}*\dfrac{dy}{dx} \\\\\dfrac{dy^3}{dx} = 3y^2*\dfrac{dy}{dx}$

Derivada de um produto $\dfrac{d(2xy)}{dx}$

$\dfrac{d(2xy)}{dx} = 2(1*y + \dfrac{dy}{dx}x ) = 2y + 2x\dfrac{dy}{dx}$

Substituindo,

$3x^2 + 3y^2\dfrac{dy}{dx} - 2y - 2x\dfrac{dy}{dx} = 0$

Colocando dy/dx em evidência:

$(3y^2 - 2x)\dfrac{dy}{dx} = 2y - 3x^2$

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2y - 3x^2}{3y^2 - 2x}$