Question

Assinale a alternativa que corresponde a área entre as curvas y = e⁻ˣ , y = x+1, x = -1 e x = 0. A figura a seguir (anexo) mostra essa área em destaque.

a) (e - 1/2) u.a

b) (e - 1/4) u.a

c) (e + 1/2) u.a

d) (e - 3/2) u.a

e) e/5 u.a

Answer 1

Olá!

Sabemos que a integral definida pode ser interpretada como um tipo de função 'área até aqui', indo de seu limite inferior ao superior. Além disso, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que:

$\star \ \boxed{\mathsf{\displaystyle\int_a^b f(x) \ dx = F(b) - F(a)}}$


Assim, se fizermos a diferença entre a integral de cima(de maior área entre ela e o eixo x) e a de baixo(menor área, em forma de triângulo), teremos a diferença entre as áreas, que é a mesma coisa que a área entre as curvas.

Porém, precisamos saber os limites, que vemos da interseção das curvas. É evidente, do enunciado, que o limite inferior é -1. Para calcularmos o superior, igualamos as duas funções:

$\mathsf{e^{-x} = x+1}\\ \\ \mathsf{\dfrac{1}{e^x} = x + 1}$

Veja que a solução é imediata(e podemos até inferir pelo gráfico) e vale x = 1. Assim, queremos, portanto a integral:

$\mathsf{\displaystyle\int_{-1}^0 [e^{-x} - (x+1)]dx =\displaystyle\int_{-1}^0(e^{-x}-x-1) \ dx}$

Calculamos a integral indefinida dessa função:

$\mathsf{\displaystyle\int (e^{-x} -x - 1) dx=\displaystyle\int e^{-x}dx -\displaystyle\int x \ dx -\displaystyle\int dx}$

A segunda e a terceira integrais são imediatas. A primeira pode ser facilmente calculada fazendo u = -x. Assim, du = -dx e escrevemos:

$\mathsf{\displaystyle\int -e^{u}du = -e^u + C=-e^{-x} +C}$

Portanto:

$\mathsf{\displaystyle\int e^{-x}dx -\displaystyle\int x \ dx -\displaystyle\int dx = -e^{-x} - \dfrac{x^2}{2} -x + C}$

Agora podemos calcular a integral definida, desconsiderando a constante, que será anulada.

$\mathsf{\displaystyle\int_{-1}^0(e^{-x} - x-1) \ dx = \left(-e^{-x} -\dfrac{x^2}{2} - x\right)_{-1}^{\null \ 0} = }\\ \\ \\ \mathsf{=-e^{-0} -\dfrac{0^2}{2} -0 -\left[-e^{1}-\dfrac{1}{2}+1\right]= -1+e-\dfrac{1}{2}}\\ \\ \\ \boxed{=\mathsf{e-\frac32}}$

Alternativa D