Question

Assinale a alternativa que contenha a solução da integral de superfície ∫∫s xy ds onde s é a região triangular com vértices (1,0,0),(0,2,0) e (0,0,2)

Answer 1

Primeiramente, vamos encontrar a equação da superfície quando z = 0. Para z = 0, temos uma reta que passa por (1, 0, 0) e (0, 2, 0). Logo, podemos equacionar y em função de x:

y = ax + b

0 = a + b; a = -b

2 = b; a = -2

Assim, temos que:

y = 2 - 2x

z = 2 - 2x - y

A integral de superfície fica:

∫∫xy√(δz/δx)²+(δz/δy)²+1 dydx

δz/δx = -2

δz/δy = -1

∫∫xy√[4+1+1] dydx

∫∫xy√6 dydx

Logo, os limites de integração serão: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2 - 2x. Resolvendo a integral, temos:

$\sqrt{6}\int\limits^1_0 \int\limits^{2-2x}_0 {xy} \, dydx\\\\\sqrt{6}\int\limits^1_0 {x\dfrac{y^2}{2}|^{2-2x}_0} \, dx\\\\\sqrt{6}\int\limits^1_0 {x\dfrac{(2-2x)^2}{2}} \, dx\\\\\sqrt{6}\int\limits^1_0 {x\dfrac{(4-8x + 4x^2)}{2}} \, dx\\\\\sqrt{6}\int\limits^1_0 {2x - 4x^2 + 2x^3}\, dx\\\\\sqrt{6}\ [2\dfrac{1^2}{2} - 4\dfrac{1^3}{3} + 2\dfrac{1^4}{4}]\\\\\sqrt{6}\ [1 - \dfrac{4}{3} + \dfrac{1}{2}] = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$