Question

assinale a alternativa que contem um valor de x tal que fiquem definidos todos os logaritmos a seguir simultaneamente. log3 (2x-1), log (x-2) (x-1) e log x (-2x+6)
a)1,5 b) 2 c) 2,5 d)3 e)3,5

Answer 1

As condições de existencia do logatimo são:

--> Logaritmando positivo, ou seja, um numero maior que 0.

--> Base positiva diferente de 1, ou seja, um numero maior que 0, mas não 1.

Assim podemos escrever os intervalos onde cada um dos logs apresentados existem:

$log_{_3}(2x-1)\\\\2x-1\;>\;0\\\\2x >1\\\\x>\frac{1}{2}$

$log\,(x-2)(x-1)\\\\\\x^2-3x+2>0\\\\O\; logaritmando\; neste \;caso\; eh \;uma\; funcao\; do\; 2^\circ\; grau\; com \;raizes\; 2\; e\; 1$

$\\Como\; o\; coeficiente\; "a"\;eh\;positivo\;a\;funcao\;sera\;positiva\;para\;valores\;menores\;que\;a\\menor\;raiz\;(1)\;ou\;para\;valores\;maiores\;que\;a\;maior\;raiz\;(2),\;ou\;seja\;queremos:\\x<1\;\;ou\;\;x>2$

$log\,x(-2x+6)\\\\\\-2x^2+6x>0\\\\O\; logaritmando\; neste \;caso\; eh \;uma\; funcao\; do\; 2^\circ\; grau\; incompleta\;com \;raizes\; 0\; e\; 3$

$\\Como\; o\; coeficiente\; "a"\;eh\;negativo\;a\;funcao\;sera\;positiva\;para\;valores\;maiores\;que\;a\\menor\;raiz\;(0)\;e\;para\;valores\;menores\;que\;a\;maior\;raiz\;(3),\;ou\;seja\;queremos:\\0<x<3$

Veja no anexo os intervalos.

Para que todas possam simultaneamente ser obedecidas, precisamos achar a intersecção entres elas (anexo).

Assim vaemos que a intersecção é o intervalo 2 < x < 3 , ou seja, "x" deve ser um numero entre 2 e 3.

Pelas alternativas vemos que o unico possivel é C 2,5.