Question

Assinale a alternativa que apresenta uma das raízes da equação:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{b)~x=1\cdot\left(\cos100\°+i\cdot\sin100\°\right)}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos utilizar a Fórmula de De Moivre para a radiciação de números complexos.

Considere a equação $x^4=1\cdot(\cos 40\°+i\cdot \sin 40\°)$

Então seja $x^4=z$, tal que $z=1\cdot(\cos 40\°+i\cdot\sin 40\°)$ é um número complexo na forma trigonométrica.

Sabemos que a raiz n-ésima de um número complexo pode ser calculado pela fórmula:

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\cdot\left(\cos \left(\dfrac{\theta+360\°\cdot k}{n}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{\theta+360\°\cdot k}{n}\right)\right)$, tal que $n$ é o índice da raiz, $|z|$ é o módulo do número complexo e $k$ é um valor arbitrário que varia de $0$ até $n-1$.

Logo, comparando o número complexo que temos à forma trigonométrica $z=|z|\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)$, podemos observar que:

$|z|=1$ e $\theta = 40\°$.

Substituindo estas informações na fórmula, assim como $n=4$, teremos

$\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{1}\cdot\left(\cos \left(\dfrac{40\°+360\°\cdot k}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{40\°+360\°\cdot k}{4}\right)\right)$

As soluções serão:

• $\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{1}\cdot\left(\cos \left(\dfrac{40\°+360\°\cdot 0}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{40\°+360\°\cdot 0}{4}\right)\right)$.
• $\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{1}\cdot\left(\cos \left(\dfrac{40\°+360\°\cdot 1}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{40\°+360\°\cdot 1}{4}\right)\right)$.
• $\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{1}\cdot\left(\cos \left(\dfrac{40\°+360\°\cdot 2}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{40\°+360\°\cdot 2}{4}\right)\right)$.
• $\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{1}\cdot\left(\cos \left(\dfrac{40\°+360\°\cdot 3}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\dfrac{40\°+360\°\cdot 3}{4}\right)\right)$.

Multiplicando os valores e simplificando as frações, teremos

• $\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{1}\cdot\left(\cos10\°+i\cdot\sin10\°\right)$.
• $\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{1}\cdot\left(\cos100\°+i\cdot\sin100\°\right)$.
• $\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{1}\cdot\left(\cos190\°+i\cdot\sin190\°\right)$.
• $\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{1}\cdot\left(\cos280\°+i\cdot\sin280\°\right)$.

Logo, sabendo que $z=x^4$ e $\sqrt[4]{1}=1$, as soluções são:

• $x=1\cdot\left(\cos10\°+i\cdot\sin10\°\right)$.
• $x=1\cdot\left(\cos100\°+i\cdot\sin100\°\right)$.
• $x=1\cdot\left(\cos190\°+i\cdot\sin190\°\right)$.
• $x=1\cdot\left(\cos280\°+i\cdot\sin280\°\right)$.

A alternativa que apresenta uma das raízes da equação é a letra b).