Assinale a alternativa que apresenta um ponto P, do eixo das cotas, cuja distância ao ponto T=(–1,2,–2) seja igual a 3.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Se um ponto PP pertence ao eixo das cotas, então as duas primeiras coordenadas de PP são nulas:
(x_{_{P}}=y_{_{P}}=0)(x
P
=y
P
=0)
Então, o ponto PP é um ponto na forma
P(0,\;0,\;z_{_{P}})P(0,0,z
P
)
___________________________________
A distância de PP até AA é igual a 3:3:
\begin{gathered}d_{_{P,\,A}}=3\\\\ \sqrt{(x_{_{P}}-x_{_{A}})^{2}+(y_{_{P}}-y_{_{A}})^{2}+(z_{_{P}}-z_{_{A}})^{2}}=3\\\\ \sqrt{(0-(-1))^{2}+(0-2)^{2}+(z_{_{P}}-(-2))^{2}}=3\\\\ \sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}+(z_{_{P}}+2)^{2}}=3\\\\ \sqrt{1+4+(z_{_{P}}+2)^{2}}=3\\\\ \sqrt{5+(z_{_{P}}+2)^{2}}=3\end{gathered}
d
P,A
=3
(x
P
−x
A
)
2
+(y
P
−y
A
)
2
+(z
P
−z
A
)
2
=3
(0−(−1))
2
+(0−2)
2
+(z
P
−(−2))
2
=3
(1)
2
+(−2)
2
+(z
P
+2)
2
=3
1+4+(z
P
+2)
2
=3
5+(z
P
+2)
2
=3
Elevando os dois lados ao quadrado, temos
\begin{gathered}5+(z_{_{P}}+2)^{2}=9\\\\ (z_{_{P}}+2)^{2}=9-5\\\\ (z_{_{P}}+2)^{2}=4\\\\ z_{_{P}}+2=\pm \sqrt{4}\\\\ z_{_{P}}+2=\pm 2\\\\ z_{_{P}}=\pm 2-2\\\\ \begin{array}{rcl} z_{_{P}}=-2-2&~\text{ ou }~&z_{_{P}}=2-2\\\\ z_{_{P}}=-4&~\text{ ou }~&z_{_{P}}=0 \end{array}\end{gathered}
5+(z
P
+2)
2
=9
(z
P
+2)
2
=9−5
(z
P
+2)
2
=4
z
P
+2=±
4
z
P
+2=±2
z
P
=±2−2
z
P
=−2−2
z
P
=−4
ou
ou
z
P
=2−2
z
P
=0
Logo, temos duas possibilidades para o ponto P:P:
P(0,\;0,\;-4)~~\text{ ou }~~P(0,\;0,\;0).P(0,0,−4) ou P(0,0,0).