Question

Assinale a alternativa onde as duas transformações são lineares.

Escolha uma:
T(x,y)=(x,y) e T(x,y)=(x+1, y)
T(x,y)=(x+1, y) e T(x,y)=(2x2+xy, x)
T(x,y)=(x,y) e T(x,y,z)=(2x+y, x+2y, x+2y+z)
T(x,y)=(x,y) e T(x,y)=(2x2+xy,x)

Answer 1

a)
T(x,y)=(x,y) ... é  linear

u=(1,2) ==>T(u)=(1,2)

v=(-1,2)==>T(v)=(-1,2)

u+v=(0,4) ==>T(u+v) = T(0,2)=(0,2)

T(u+v)=T(u)+T(v) 1ª condição

(0,2)=(1,2)+(-1,2) OK

Fazendo α =-3

T(a*u) =a*T(u)     2ª condição

T[-3*(u,v)]=T(-3,-6)=(-3,-6) OK

a*T(u) =-3 * (1,2) =(-3,-6)  OK

T(x,y)=(x+1, y)  ...não é  linear

u=(1,2)==>T(1,2)=(2,2)

v=(-1,2)==>T(-1,2)=(0,2)

T(u+v)=T[(1-1),(2+2)]=T(0,4)=(1,4)

T(u)+T(v)=T(1,2)+T(-1,2)=(1,2)+(-1,2) =(0,4)

(1,4) ≠   (0,4) 

b)
T(x,y)=(x+1, y) ...não é  linear(verificada na anterior)

T(x,y)=(2x2+xy, x) ..1ª ñ linear , não é necessário verificar


c) As duas são lineares     

T(x,y)=(x,y)  ... é  linear (verificado no início)

T(x,y,z)=(2x+y, x+2y, x+2y+z) ... é  linear

T(1,2,3)=(4,5,8)

T(1,0,0)=(2,1,1)

(1+1,2+0,3+0)=(2,2,3)

T(u+v) =T(u)+T(v)

T(u+v)=T(2,2,3)=(6,6,9)

T(u)+T(v) =T(1,2,3)+T(1,0,0)=(6,6,9) OK

Fazendo α =-3
T[-3*(1,0,0)]=T(-3,0,0)=(-6,-3,-3)  OK

-3 * T(1,0,0) =-3*(2,1,1)=(-6,-3,-3)  OK



d)
T(x,y)=(x,y) ... é  linear verificada  na letra a
T(x,y)=(2x²+xy,x) ...ñ  é linear

u=(0,1)==>T(u)=T(0,1)=(0,0)

v=(2,0)==>T(v)=T(2,0)=(8,2)

T(u+v)=T(0+2 , 1+0)=T(2,1)=(10,1)

T(0,1)+T(2,0)=(0,0)+(8,2)=(8,2) 

T(u+v) ≠ T(u)+T(v)



Resposta é a letra C