Question

assinale a alternativa correta que contenha o calculo da integral dupla "I" , sendo dado que D é o contorno de x²+y²=16:

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Pergunta completa em anexo

Answer 1

Resposta:

A

Explicação passo a passo:

Answer 2

O valor da integral dupla é $I=\dfrac{128\pi}{3}$.

Integral Dupla

Para calcularmos está integral dupla de regiões não retangulares podemos utilizar ao invés das coordenadas cartesianas, as coordenadas polares onde:

$\begin{cases}x=r\cdot \cos \theta\\y=r\cdot \sin \theta\\dx\cdot dy=r\cdot dr\cdot d\theta\end{cases}$

Como a equação dada é a equação reduzida de uma circunferência de centro na origem e raio 4 e queremos o seu contorno teremos θ = 2π.

Assim, reescrevemos a integral da seguinte forma:

$\int\int_D \sqrt{x^2+y^2} \ dx \ dy=\int_0^{2\pi}\int_0^4 \sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta} \ r \ dr \ d\theta$

Simplificando a integral assim obtida, colocando r² em evidência e aplicando a Relação Fundamental da Trigonometria (sin²θ + cos²θ = 1) teremos:

$\int_0^{2\pi}\int_0^4 r^2 \ dr \ d\theta$

Resolvendo a integral "de dentro" em relação a variável r. E aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo.

$\int_0^4 r^2 \ dr \ d\theta=\dfrac{r^3}{3}\left|_0^4$

$\int_0^4 r^2 \ dr \ d\theta=\dfrac{64}{3}$

Por fim resolveremos a integral "de fora" em relação a variável θ. E aplicando novamente o Teorema Fundamental do Cálculo.

$\int_0^{2\pi}\dfrac{64}{3} \ d\theta=\dfrac{64}{3}\int_0^{2\pi}d\theta$

$\int_0^{2\pi}\dfrac{64}{3} \ d\theta=\dfrac{64}{3}\left(\theta\left|_0^{2\pi}\right)$

$\int_0^{2\pi}\dfrac{64}{3} \ d\theta=\dfrac{128\pi}{3}$

Para saber mais sobre Integral Dupla acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/51033932

#SPJ1