Question

assinale a alternativa com a transformada inversa de laplace para f3 (s) = 1/s(s-5)²

Answer 1

Seja F(s) = 1/s(s-5)²

Utilizando frações parciais, temos:

$\\ \frac{1}{s(s-5)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s-5} + \frac{C}{(s-5)^2} \\ \\ 1 = A(s-5)^2 +B(s)(s-5) +C(s) \\ \\ Com, s = 0 \\ \\ 1 = A(25) \\ \\ A = \frac{1}{25} \\ \\ Com , s = 5 \\ \\ 1 = 5C \\ \\ C = \frac{1}{5} \\ \\ Com, s = 6 \\ \\ 1 = A(1)^2+B(6)(1)^2+6C \\ \\ 1 = A+6B+6C \\ \\ 1 = \frac{1}{25} +6B + \frac{6}{5} \\ \\ 1 = 6B + \frac{31}{25} \\ \\ 6B = - \frac{6}{25} \\ \\ B = -\frac{1}{25} \\ \\ Logo,$

$\\ F(s) = \frac{A}{s} + \frac{B}{s-5} + \frac{C}{(s-5)^2} \\ \\ F(S) = \frac{1}{25s} - \frac{1}{25(s-5)} + \frac{1}{5(s-5)^2}$

(I) 

Olhando para a primeira expressão, veremos que sua função seria '1'

Já que para f(t) = 1

F(s) = 1/s

Logo, f(t) = 1/25 * 1 = 1/5²
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Já para o segundo, observaremos que :

f(t) = e^at

Pois, e^at = 1/(s-a)

Logo, com a constante fica, f(t) =   - 1/25 *e^at

= 1/5² * e^at
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Na terceira expressão,

Temos que para f(t) = te^(-at)

F(s) = 1/(s+a)^2

Acompanhando a constante, fica:

1/5*  1 /(s-5)^2 = 1/5 * te^(-(-5)t)

= 1/5 * te^5t

LOGO, TEREMOS

$f(t) = \frac{1}{5^2} - \frac{e^{at}}{5^2} + \frac{te^{5t}}{5}$