Question

Assim como podemos comparar números reais entre si por meio das operações básicas, também podemos empregar operações para relacionar polinômios entre si, desde que consideremos as especificidades das operações definidas sobre o conjunto de polinômios, os quais são compostos por partes literais e por coeficientes numéricos.

Com base nesse tema, considere que durante uma preparação para um concurso público, Marina, ao estudar conteúdos de Matemática, deparou-se com a seguinte questão:

"Qual o polinômio que ao ser multiplicado por tem como resultado ?"

Answer 1

Resposta:

x³ + 3x² - x

Explicação passo-a-passo:

Esta questão está relacionada com operação envolvendo polinômios. Nesse caso, temos o  seguinte polinômio: 3x³ + 2x² + 5x - 4. Este, quando multiplicado por outro polinômio, resulta em: 3x⁶ + 11x⁵ + 8x⁴ + 9x³ – 17x² + 4x.

Inicialmente, note que temos um polinômio de grau 3 e que após a multiplicação resulta em um polinômio de grau 6. Com isso, podemos concluir que o outro polinômio também possui grau 3. Desse modo, ele possui a seguinte fórmula geral: ax³ + bx² + cx + d.

Agora, vamos multiplicar os polinômios e igualar ao resultado. Desse modo, podemos comparar os valores dos coeficientes.

$(3x^3+2x^2+5x-4)\times (ax^3+bx^2+cx+d)=\\ \\(3a)x^6+(2a+3b)x^5+(5a+2b+3c)x^4+(-4a+5b+2c+d)x^3+(-4b+5c+2d)x^2+(-4c+5d)x-4d=3x^6+11x^5+8x^4+9x^3-17x^2+4x$

A partir dessa igualdade, podemos igualar os coeficientes dos termos independentes. Com isso, temos o seguinte:

$3a=3\\ a=1\\ \\ 2a+3b=11\\ 2+3b=11\\ b=3\\ \\ 5a+2b+3c=8\\ 5+6+3c=8\\ c=-1\\ \\ -4a+5b+2c+d=9\\ -4+15-2+d=9\\ d=0$

Por fim, o polinômio em questão será: x³ + 3x² - x.