Assim como podemos comparar números reais entre si por meio das operações básicas, também podemos empregar operações para relacionar polinômios entre si, desde que consideremos as especificidades das operações definidas sobre o conjunto de polinômios, os quais são compostos por partes literais e por coeficientes numéricos.
Com base nesse tema, considere que durante uma preparação para um concurso público, Marina, ao estudar conteúdos de Matemática, deparou-se com a seguinte questão:
"Qual o polinômio que ao ser multiplicado por tem como resultado ?"
Assinale a alternativa que contém o polinômio que satisfaz as condições da questão apresentada:
Soluções para a tarefa
O polinômio a ser multiplicado é x³ + 3x² - x.
O problema nos dá uma multiplicação de polinômios, são eles: g(x) = 3x³ + 2x³ + 5x - 4 que multiplicado por um polinômio p(x) resulta em h(x) = 3x⁶ + 11x⁵ + 8x⁴ + 9x³ – 17x² + 4x. Então, temos que para chegar de um polinômio de ordem 3 para um de ordem 6, devemos multiplicar por um polinômio de ordem 3, logo, ele será da forma ax³ + bx² + cx + d. Temos então:
(3x³ + 2x² + 5x - 4).(ax³ + bx² + cx + d) = 3x⁶ + 11x⁵ + 8x⁴ + 9x³ – 17x² + 4x
3ax⁶ + (3b + 2a)x⁵ + (3c + 2b + 5a)x⁴ + (2c + 5b – 4a + 3d)x³ + (5c – 4b + 2d)x² – (4c - 5d)x - 4d = 3x⁶ + 11x⁵ + 8x⁴ + 9x³ – 17x² + 4x
Comparando os termos em parênteses com os coeficientes de h(x), encontramos:
3a = 3
a = 1
3b + 2a = 11
3b = 11 - 2
3b = 9
b = 3
3c + 2b + 5a = 8
3c = 8 - 6 - 5
3c = -3
c = -1
2c + 5b – 4a + 3d = 9
3d = 9 + 2 - 15 + 4
3d = 0
d = 0
O polinômio deve ser p(x) = x³ + 3x² - x.