Assim como nas funções que envolvem os espaços vetoriais dos números reais, também é válido falar em transformações lineares injetoras e sobrejetoras. E para falar nestas duas características da aplicação linear, é preciso aplicar os conceitos de núcleo e imagem de uma transformação.
Blog do Mestre (Adaptado), 2018.
Soluções para a tarefa
Estão corretas todas as afirmações.
A transformação será injetora quando o núcleo possuir dimensão igual a zero.
A transformação será sobrejetora quando a dimensão da imagem for igual à dimensão do domínio.
Vamos analisar cada transformação.
I. Vamos determinar o núcleo da transformação.
Igualando a transformação ao vetor nulo, obtemos:
(x,2x) = (0,0).
Temos o seguinte sistema:
{x = 0
{2x = 0
Logo, concluímos que x = 0 e o núcleo da transformação é N(T) = {(0,0)}. Consequentemente, a dimensão do núcleo é zero.
A transformação é injetora.
II. Igualando a transformação ao vetor nulo:
(y,x) = (0,0).
Obtemos o sistema:
{y = 0
{x = 0.
Logo, o núcleo da transformação é N(T) = {(0,0)} e a dimensão é zero.
Portanto, a transformação é injetora.
III. Observe que a dimensão do núcleo dessa transformação é zero.
A dimensão do R³ é 3. Então:
dim IR³ = dim N(T) + dim Im(T)
3 = 0 + dim Im(T)
dim Im(T) = 3.
Portanto, a transformação é sobrejetora.
IV. Perceba que: (x + y, y, x) = x(1,0,1) + y(1,1,0).
A imagem será igual a Im(T) = {(1,0,1),(1,1,0)}, ou seja, a dimensão da imagem é 2.
Ora, a dimensão de IR² também é 2.
Logo, a transformação é sobrejetora.