Question

assim como é possível calcular o potencial elétrico em uma posição do espaço a partir do conhecimento do campo elétrico ao longo de uma trajetória de um ponto de referência até uma posição definida. O inverso também pode acontecer.

Considere o potencial elétrico em uma região do espaço dado pela função escalar v(x, y, z ) = (100x² y + 300y z²- 200 x y z), com as unidades no SI. O vetor campo elétrico no ponto Q=(0,1,1), em 10² N/C, é igual a.

a) 2 i - 3j - 6k
b) -i -j +k
c) i + 2j + 10k
d) -5i -2j - 4k
e) - 3i + 2j + 5k

Answer 1

Como sabemos, o gradiente do potencial elétrico nos fornece o campo elétrico, sendo este último um campo vetorial:

     $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\nabla} v(x,\,y,\,z)\\\\ \overrightarrow{E}=-\left(\dfrac{\partial v}{\partial x}\overrightarrow{i}+\dfrac{\partial v}{\partial y}\overrightarrow{j}+\dfrac{\partial v}{\partial z}\overrightarrow{k}\right)$



Vamos encontrar as três componentes do campo elétrico $\overrightarrow{E}$ separadamente:

     •   $E_x=-\dfrac{\partial v}{\partial x}$

     $E_x=-\dfrac{\partial}{\partial x}(100x^2y+300yz^2-200xyz)\\\\\\ E_x=-(200xy-200yz)\\\\ E_x=-200xy+200yz$


     •   $E_y=-\dfrac{\partial v}{\partial y}$

     $E_y=-\dfrac{\partial}{\partial y}(100x^2y+300yz^2-200xyz)\\\\\\ E_y=-(100x^2+300z^2-200xz)\\\\ E_y=-100x^2-300z^2+200xz$


     •   $E_z=-\dfrac{\partial v}{\partial z}$

     $E_z=-\dfrac{\partial}{\partial z}(100x^2y+300yz^2-200xyz)\\\\\\ E_z=-(600yz-200xy)\\\\ E_z=-600yz+200xy$

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Computando as componentes de $\overrightarrow{E}$ no ponto Q(0, 1, 1), obtemos

     •   $E_x(0,\,1,\,1)=-200\cdot 0\cdot 1+200\cdot 1\cdot 1$

     $E_x(0,\,1,\,1)=200\quad\mathrm{N/C}\\\\ E_x(0,\,1,\,1)=2\quad(10^2~\mathrm{N/C})$


     •   $E_y(0,\,1,\,1)=-100\cdot 0^2-300\cdot 1^2+200\cdot 0\cdot 1$

     $E_y(0,\,1,\,1)=-300\quad\mathrm{N/C}\\\\ E_y(0,\,1,\,1)=-3\quad(10^2~\mathrm{N/C})$


     •   $E_z(0,\,1,\,1)=-600\cdot 1\cdot 1+200\cdot 0\cdot 1$

     $E_z(0,\,1,\,1)=-600\quad\mathrm{N/C}\\\\ E_z(0,\,1,\,1)=-6\quad(10^2~\mathrm{N/C})$



Portanto, o vetor campo elétrico no ponto Q(0, 1, 1) é

     $\overrightarrow{E}(0,\,1,\,1)=E_x(0,\,1,\,1)\overrightarrow{i}+E_y(0,\,1,\,1)\overrightarrow{j}+E_z(0,\,1,\,1)\overrightarrow{k}\\\\ \overrightarrow{E}(0,\,1,\,1)=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-6\overrightarrow{k}\quad(10^2~\mathrm{N/C})$



Resposta: alternativa  a)  2i − 3j − 6k.



Bons estudos! :-)