Question

As três forças concorrentes que atua sobre o olhal, produzem uma força resultante Fr=0. se F2=2/3 F1 e F1 precisa estar 90º de F2, determine a intensidade necessária de F3 expressa em função de F1 e o ângulo teta.

Answer 1

A intensidade de F3 é                                        

                                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\|\vec{F_3}\| = \frac{\|\vec{F_1}\|\sqrt{13}}{3}\end{gathered} }$

Porém θ é fixo e determinado

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\theta = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + 30^\circ\\ \\\theta \approx 63{,}69^\circ\end{gathered}$

Podemos resolver esse exercício escrevendo todas as forças decompostas e depois resolver o sistema para F3 e θ, porém será bem mais complicado do que resolução que irei dar, todavia ela precisa de uma visão mais geométrica do problema e vai precisar de um pouco de visualização, portanto irei anexar uma figura do esquema que fiz para resolver a questão.

Como a força é resultante é nula temos que a soma vetorial é nula, porém o enunciado diz que necessariamente o ângulo entre F1 e F2 é 90º, logo a soma de F1 e F2 é -F3, neste caso como eles são perpendiculares obtemos que norma (intensidade) de F3 é dado pelo teorema de Pitágoras:

                                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\|\vec{F_3}\| = \sqrt{\|\vec{F_1}\|^2 + \|\vec{F_2}\|^2}\end{gathered} }$

O enunciado nos dá que F2 = 2/3 F1 logo

                                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\|\vec{F_3}\| = \sqrt{\|\vec{F_1}\| + \frac{2}{3}\|\vec{F_1}\|}\\ \\\|\vec{F_3}\| = \frac{\|\vec{F_1}\|\sqrt{13}}{3}\end{gathered} }$

Agora já sabemos a intensidade de F3, porém não sabemos qual é o ângulo θ (este ângulo é único), porém analisando a figura em anexo podemos perceber que α + β por conta dos ângulos opostos ao vértice, portanto

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tan \beta = \frac{2}{3} \Rightarrow \beta = \arctan\left(\frac{2}{3}\right)\end{gathered}$

Como α é imediato e vale 30° chegamos a conclusão que

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\theta = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + 30^\circ\\ \\\theta \approx 63{,}69^\circ\end{gathered}$

Logo não faz sentido escrever F3 em função de θ pois θ é único e determinado, a única variável que temos aqui é a intensidade da força F1.

Algumas considerações finais:

Ao resolver o exercício por sistema iremos obtermos os mesmo resultados porém com passagens algébricas mais complicadas, porém no fim iriamos concluir que

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\|\vec{F_3}\| = \|\vec{F_1}\|\sec\left(\theta\right)\left(\sin\varphi - \frac{2}{3}\sin\delta\right)\end{gathered}$

Essa equação dá exatamente o mesmo valor que obtemos, onde φ e δ são os ângulos de F1 e F2. Porém só ela não é o suficiente pois temos θ e utilizando o mesmo sistema que usamos para chegar na equação acima podemos chegar no valor de θ, que será o mesmo obtido da outra forma, e será dado por

                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\theta = \arctan\left(\frac{\cos\varphi+ \frac{2}{3}\cos\delta}{\sin\varphi - \frac{2}{3}\sin\delta}\right)\end{gathered} }$

Porém note que essa fórmula é mais genérica e trata casos onde não necessariamente F1 e F2 são perpendiculares.

Devido ao limite de caráter não irei mostrar a resolução algébrica.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários