Question

​As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando o conceito: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma "lei" que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u pela aplicação F. ​Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede: T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + y + z, x - y + z, x + y - z) a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta por meio da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação. b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]? c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora? d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]?
e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora? f) Qual a matriz da Transformação? g) Quais seus autovalores? h) Quais seus autovetores?

Answer 1

Resposta:

As respostas de cada item encontram-se na explicação passo a passo.

Explicação passo a passo:

Dada a transformação $T:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3$ definida por $T(x,y,z)=(x+y+z, x-y+z, x+y-z)$ temos:

a) Para que a transformação seja linear devemos ter:

I. $T(u+v)=T(u)+T(v)$

II. $T(\alpha \cdot u)=\alpha\cdot T(u)$

Demonstração:

Sejam u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2)

I. T(u+v) = T[(x1+x2),(y1+y2),(z1+z2)] = [(x1+x2+y1+y2+z1+z2),(x1+x2-y1-y2+z1+z2),(x1+x2+y1+y2-z1-z2)] = [(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2), (x1-y1+z1)+(x2-y2+z2), (x1+y1-z1)+(x2+y2-z2) = T(u)+T(v)

II. T(au) = T(ax,ay,az) = (ax+ay+az, ax-ay+az, ax+ay-az) = [a(x+y+z),a(x-y+z),a(x+y-z)] = a(x+y+z, x-y+z, x+y-z) = a.T(u)

Por I e II temos que a transformação é linear.

b) O núcleo de uma transformação linear é dados pelos vetores de T tais que T(0)=0. Isto é, devemos encontrar as soluções do seguinte sistema linear:

$\begin{cases}x+y+z=0\\x-y+z=0\\x+y-z=0\\\end{cases}$

Somando as linhas 2 e 3 obtemos x = 0 e por consequência y = 0 e z = 0. Portanto a única solução do sistema é a solução trivial, a terna ordenada (0,0,0).

N(T) = {(0,0,0)}

c) A dimensão do núcleo é dada pelo número de vetores do núcleo. Como só há um vetor que pertence a este, a sua dimensão é 1

Dim(N(T)) = 1

A transformação também é injetora, pois o único vetor do núcleo de T é o vetor nulo.

d) Como T(x,y,z)=(x+y+z, x-y+z, x+y-z) = x(1,1,1)+y(1,-1,1)+z(1,1,-1)

Dizemos que os vetores (1,1,1), (1,-1,1) e (1,1,-1) formam a imagem da transformação linear. Portanto, Im(T) = {(1,1,1); (1,-1,1); (1,1,-1)}.

e) Como a transformação é de R³ em R³ temos:

dim R³ = dim N(T) + dim Im(T)

3 = 1 + dim Im(T)

dim Im(T) = 2

A transformação não é sobrejetora pois as dimensões da imagem (2) e do conjunto de chegada R³ (3) são diferentes.

f) A matriz de transformação é dada pela imagem da Transformação.

$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\1 & 1 & -1\\\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}$

Para determinar os auto-valores e auto-vetores devemos obter

$det (A-\lambda I)=\begin{vmatrix}1-\lambda & 1 & 1\\1 & -1-\lambda & 1\\1 & 1 & -1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)(1+\lambda)^2+2+1+\lambda-1+\lambda+1+\lambda=-\lambda^3-\lambda^2+4\lambda+4=0\\\\\lambda_1=-2; \ \lambda_2=-1; \ \lambda_3=2$

Que são os auto-valores os quais fornecem os seguintes auto-vetores (0,1,-1); (1,-1,-1); (2,1,1).