Question

As técnicas de integração são procedimentos analíticos utilizados para encontrar antiderivadas de funções e tem função de facilitar os procedimentos para tal. Algumas das técnicas mais conhecidas são as de integração por substituição, partes e frações parciais. Usando uma das técnicas, assinale a alternativa que indica ∫x^2/(x^3-1) dx.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{1}{3}\ln|x^3-1|+C}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos calcular a seguinte integral:

$\displaystyle{\int\dfrac{x^2}{x^3-1}\,dx$

Para isso, façamos uma substituição $u=x^3-1$. Diferenciamos ambos os lados para encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=(x^3-1)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=3x^2\Rightarrow du=3x^2\,dx$

Divida ambos os lados da equação por $3$

$\dfrac{du}{3}=x^2\,dx$

Observe que este elemento já está presenta na integral. Assim, teremos:

$\displaystyle{\int \dfrac{\dfrac{du}{3}}{u}$

Calcule a fração de frações

$\displaystyle{\int \dfrac{du}{3u}$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$

$\dfrac{1}{3}\cdot\displaystyle{\int \dfrac{du}{u}$

Esta é uma integral imediata: $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C$, então

$\dfrac{1}{3}\cdot(\ln|u|+C_1)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{1}{3}\ln|u|+\dfrac{C_1}{3}$

Considere $\dfrac{C_1}{3}=C$ e desfaça a substituição

$\dfrac{1}{3}\ln|x^3-1|+C$

Este é o resultado desta integral.