Question

As técnicas de integração numérica de Simpson utilizam polinômios interpoladores, normalmente, de segundo ou terceiro grau, entre pontos igualmente espaçados. As técnicas de Simpson são normalmente conhecidas como 1/3 quando utiliza um polinômio de segundo grau e 3/8, quando utiliza um polinômio de terceiro grau. Pode-se utilizar técnicas repetidas e compostas para se adequar a situação e quantidade de pontos utilizados.

Adaptado de: CHAPRA, S.C.; CANALE, R.P. Métodos Numéricos para Engenharia. 7. ed. [S.l]: McGraw Hill Brasil. 2016.

Resolva a integral informada utilizando o método 3/8 de Simpson composto. Utilize 13 pontos (12 subintervalos) na integração. Utilize 4 casas decimais na resolução.


Lembrando que a equação 3/8 de Simpson para 4 pontos é:

Answer 1

• Qual é a regra de Simpson?

Na análise numérica, a regra ou método de Simpson (nomeado em homenagem a Thomas Simpson) é um método de integração numérica usado para obter a aproximação da integral proposta.

Na integração definida, uma forma de aproximar uma integral definida em um intervalo [a,b] é por meio da regra trapezoidal, ou seja, em cada subintervalo em que [a,b] é dividido, f é aproximado por um polinômio de primeiro grau, para então calcular a integral como a soma das áreas dos trapézios formados nesses subintervalos.

    O método de Simpson segue a mesma ideia da regra do trapézio só que tem uma aproximação melhor.

Problema:

Resolva a integral informada utilizando o método 3/8 de Simpson composto. Utilize 13 pontos (12 subintervalos) na integração. Utilize 4 casas decimais na resolução.

                                          ${I=\displaystyle \int\limits^1_0 \dfrac{1}{1+x^{2} } \, dx }$

Primeiro calculamos o valor de "h" para calcular esse valor devemos subtrair o intervalo b menos o intervalo a e dividir pelo valor do subintervalo, conforme mostrarei abaixo:

                  $h=\dfrac{1-0}{12} \\\\\sf h=0.0833$

Uma vez calculado o valor de "h", podemos encontrar o valor de cada ponto, para isso somamos o valor de "h" para o primeiro termo e depois para o segundo e sucessivamente:

               $\boxed{\begin{array}{c|c}\sf x_0&0\\ \sf x_1&\sf 0.0833\\ \sf x_2&\sf0.1666\\\sf x_3&\sf 0.2499\\\sf x_4&\sf 0.3332\\\sf x_5&\sf 0.4165\\ \sf x_6&\sf 0.4998\\ \sf x_7&\sf 0.5831\\\sf x_8&\sf 0.6664\\\sf x_9&\sf 0.7497\\\sf x_{10}&\sf 0.8330\\\sf x_{11}&\sf 0.9163\\\sf x_{12}&\sf 1\end{array}}$

   Agora calculamos o valor da função quando "x" tende a todos esses valores:

$\boxed{\begin{array}{c|c}\sf f(0)&\sf 1\\ \sf f( 0.0833)&\sf 0.9931 \\ \sf f(0.1666)&\sf 0.9730\\\sf f(0.2499)&\sf 0.9412 \\\sf f( 0.3332)&\sf 0.9000\\\sf f(0.4165)&\sf0.8522\\ \sf f(0.4998)&\sf 0.8001\\ \sf f(0.5831)&\sf 0.7462\\\sf f( 0.6664)&\sf 0.6925\\\sf f( 0.7497)&\sf 0.6402 \\\sf f( 0.8330)&\sf 0.5903 \\\sf f( 0.9163)&\sf 0.5435\\\sf \sf f(1)&\sf 0.5\end{array}}$

                                                         Calculamos o valor aproximado da integral:

$I=\displaystyle \int\limits^1_0{} \dfrac{1}{1+x^{2} } , dx \approx\dfrac{3(0.0833)}{4} (1+4(0.9931)+2(0.9730)+4(0.9412)+2(0.9)+4(0.8522)+2(0.8001)+4(0.7462)+2(0.6925)+4(0.6402)+2(0.5903)+4(0.5465)+0.5)$

  $\boxed{\boxed{{I\approx =0.7853\ u^{2} }}}$

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