Question

AS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA COS(2X) – 1/2 = 0, QUE PERTENCEM AO INTERVALO [0,2Π] SÃO:

Answer 1

Vamos começar passando o termo independente (1/2) para o membro direito da equação:

$cos(2x)-\dfrac{1}{2}~=~0\\\\\\\boxed{cos(2x)~=~\dfrac{1}{2}}$

Queremos então achar um angulo "2x" com cosseno positivo e igual a 1/2.

No intervalo dado, [0, 2π] ou [0, 360°], ou seja, primeira volta do circulo trigonométrico, o cosseno é positivo no 1º quadrante (0<θ<90°) e no 4º quadrante (270°<θ<360°), como é mostrado na tabela abaixo.

 $\begin{array}{c|c|c|c|c|}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Angulo}}&1^oquadrante&2^oquadrante&3^oquadrante&4^oquadrante\\Seno&+&+&-&-\\Cosseno&+&-&-&+\\Tangente&+&-&+&-\end{array}$

Utilizando a tabela de seno e cosseno dos arcos notáveis, vamos ver qual ângulo tem seu cosseno (no 1º quadrante) igual a 1/2.

               $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}\boxed{_{Funcao}\backslash^{Angulo}}&^{~~0^\circ}_{0~rad}&^{~~~30^\circ}_{\pi/6~rad}&^{~~~45^\circ}_{\pi/4~rad}&^{~~~60^\circ}_{\pi/3~rad}&^{~~~90^\circ}_{\pi/2~rad}\\Seno&0&\dfrac{1}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&1\\Cosseno&1&\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\dfrac{1}{2}&0\\Tangente&0&\dfrac{\sqrt{3}}{3}&1&\sqrt{3}&^{~nao}_{existe}\end{array}$

Como podemos ver na tabela acima, π/3 radianos (ou 60°) é o ângulo que procuramos, ou seja:

$\boxed{2x~=~\dfrac{\pi}{3}~radianos}$

Isolando a variável "x", temos:

$x~=~\dfrac{\pi}{3\cdot 2}\\\\\\\boxed{x~=~\dfrac{\pi}{6}~radianos~~ou~~30^\circ}$

Essa é a solução para o 1º quadrante, entretanto ela não é única.

Como vimos anteriormente, temos um resposta no 4º quadrante onde o cosseno é também positivo, assim precisamos achar o arco simétrico a π/6 radianos no 4º quadrante.

Para tanto, vamos utilizar a tabela abaixo que sintetiza este processo para determinação de arcos simétricos na 1ª volta do circulo trigonométrico.

            $\begin{array}{c|c|c|c|}\boxed{^{Simetria~de}_{~~~Arcos^*}}&^{Simetrico~no}_{2^o~quadrante}&^{Simetrico~no}_{3^o~quadrante}&^{Simetrico~no}_{4^o~quadrante}\\&&&\\^{^*Para~\theta~no}_{1^oquadrante}&^{180^\circ-\,\theta}_{\pi-\theta~rad}&^{~\theta-180^\circ}_{\theta-\pi~rad}&^{~360^\circ-\,\theta}_{2\pi-\theta~rad}\end{array}$

Vamos então determinar o simétrico de "x" no 4º quadrante:

$^{Simetrico~de~x}_{~4^oquadrante}~=~2\pi-x\\\\\\^{Simetrico~de~x}_{~4^oquadrante}~=~2\pi-\dfrac{\pi}{6}\\\\\\^{Simetrico~de~x}_{~4^oquadrante}~=~\dfrac{6\cdot2\pi-1\cdot\pi}{6}\\\\\\^{Simetrico~de~x}_{~4^oquadrante}~=~\dfrac{12\pi-\pi}{6}\\\\\\\boxed{^{Simetrico~de~x}_{~4^oquadrante}~=~\dfrac{11\pi}{6}~~ou~~ 330^\circ}$

Sendo assim, as soluções para a equação no intervalo [0,2π] são π/6 radianos e 11π/6 radianos ou, caso se queira em graus, 30° e 330°.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$