Question

As soluções da equação 1/x + 1/x-1 = 3/2

A) 2 e 6
B) 1 e 6
C) 2 e 3
D) 2 e 1/3

Answer 1

Olá,

$\tt \: \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} = \frac{3}{2}$

Inicialmente vamos considerar as condições de existência para x.

Lembre-se que não está definida a divisão por zero. Nesse sentido:

$\tt \: x \ne0 \\ \tt \: x - 1 \ne0 \to \: x \ne1$

Resolvendo a equação:

$\tt \: \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} = \frac{3}{2} \\ \tt \frac{x - 1 + x}{x(x - 1)} = \frac{3}{2} \\ \tt \: \frac{2x - 1}{x(x - 1)} = \frac{3}{2} \\ \tt2(2x - 1) = 3x(x - 1) \\ \tt4x - 2 = 3 {x}^{2} - 3x \\ \tt3 {x}^{2} - 4x - 3x + 2 = 0 \\ \tt \: 3 {x}^{2} - 7x + 2 = 0$

Vamos aplicar a fórmula resolutiva de equações do segundo grau:

Coeficientes:

$\tt \: a = 3 \\ \tt \: b = - 7 \\ \tt \: c = 2$

Discriminante (Delta):

$\tt\Delta = {b}^{2} - 4ac \\ \tt \Delta = ( - 7 {)}^{2} - 4(3)( 2) \\ \tt \Delta = 49 - 24 \\ \tt \Delta = 25$

Raízes:

$\tt \: x = \frac{ - b \pm \sqrt{ \Delta} }{2a} \\ \tt \: x = \frac{ - ( - 7)\pm \sqrt{ 25} }{2(3)} \\ \tt \: x = \frac{ 7 \pm 5}{6} \\ \tt \: x_{1} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ \tt \: x_{2} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Portanto:

$\boxed{ \tt \: d) \: 2 \: e \: \frac{1}{3} } \: \checkmark$