Question

as salas de cinema de um shopping possui 8 poltronas na primeira fileira 12 na segunda fileira e 16 na terceira sabendo que as demais fileiras se compõem na mesma sequência quantas fileiras são necessárias para sala comportar um total de 360 pessoas sentadas?
a) 14
b) 27
c) 32
d) 41
e) 55​

Answer 1

Resposta:

12 fileiras

Nenhuma das alternativas.

Explicação passo a passo:

As salas de cinema de um shopping possui 8 poltronas na primeira fileira 12 na segunda fileira e 16 na terceira sabendo que as demais fileiras se compõem na mesma sequência quantas fileiras são necessárias para sala comportar um total de 360 pessoas sentadas?

Progressão aritmética

(8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52...)

r = a2- a1

r = 12-8

r = 4

S12 = (a1+ a12).12/2

S12 = (8+52).6

S12= 60.6

S12 =360

12 fileiras: soma 360 lugares

Sn = (a1+an).n/2

360 = (8+52).n/2

360 = 60.n/2

360 = 30.n

36 = 3n

3n = 36

n = 36/3

n = 12 fileiras

R.:

12 fileiras

Nenhuma das alternativas.

Answer 2

O número de fileiras necessárias para comportar um total de 360 pessoas na sala de cinema é 12.

O que é uma progressão aritmética?

Uma progressão aritmética é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Para sabermos se estamos tratando de uma progressão aritmética, é necessário haver uma razão e, com base no primeiro termo, todos os termos da sequência serão formados pelo termo anterior somado à razão.

Por exemplo, a sequência (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,...) é uma progressão aritmética, pois vemos que cada termo se distancia do outro por uma razão r = 3. Já a sequência (1, -1, 2, -2, 3, -3,...) não é uma progressão aritmética, pois não é possível encontrar a soma de uma razão que forma o próximo termo, apesar de existir uma regularidade na sequência.

Para definir os termos de uma sequência, vamos utilizar a notação $a_n$, onde $n$ é o índice subscrito que vai indicar sua posição na sequência. A forma de uma progressão é:

$(a_1, \:a_2, \:a_3, \:\dots,\:a_{n-1},\:a_n)$

Onde:

$a_2 = a_1 + r\\a_3 = a_2 + r\\a_{n} = a_{n-1} + r$

Para encontrar o $n$-ésimo termo de uma progressão aritmética, vamos usar a fórmula:

$a_n = a_1 + (n-1)r$

E podemos encontrar a razão pela relação:

$r = a_2 - a_1$

Já a soma dos $n$ primeiros termos da progressão aritmética é dada por:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$  

Em posse dessas informações, vamos resolver o problema.

A sala de cinema possui 8 poltronas na primeira fileira, 12 poltronas na segunda fileira e 16 poltronas na terceira fileira, e assim sucessivamente. Vamos ter a sequência (8, 12, 16,...), onde o termo $a_1 = 8$, $a_2 = 12$ e $a_3 = 16$. Pelo problema, precisamos encontrar a soma da progressão aritmética, para comportar um total de 360 pessoas, o que indica que precisamos encontrar $S_n$. Vamos primeiro encontrar a razão da progressão:

$r = a_2 - a_1 = 12 - 8 = 4$

Nossa sequência tem termos distanciados por uma razão 4, então agora podemos usar a fórmula da progressão aritmética para encontrar $n$:

$a_n = a_1 +(n-1)r\\a_n = 8 + (n-1)4$

Vamos fazer uma distributiva no termo $(n - 1)4$:

$(n-1)4 = 4n - 4$

Então, temos:

$a_n = 8+4n - 4\\a_n = 4+4n$

Agora, vamos encontrar a soma da progressão aritmética, para encontrar $n$:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}=(a_1+a_n)\frac{n}{2}$

$360 = (8+4+4n)\frac{n}{2}\\\\360 = (12+4n)\frac{n}{2}\\\\360 = \frac{12n}{2}+\frac{4n^2}{2}\\\\360= 6n + 2n^2$

Podemos reorganizar essa equação em forma de uma equação de segundo grau:

$2n^2 + 6n - 360 = 0$

Onde:

$a = 2\\b = 6\\c = -360$

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação, e nossa resposta será dada pelo termo positivo que encontrarmos:

$n = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\\\n = \frac{-6\pm\sqrt{6^2 - 4\cdot 2 \cdot (-360)}}{4}\\\\n = \frac{-6\pm\sqrt{2916}}{4}=\frac{-6\pm54}{4}\\\\n_1 = \frac{-6+54}{4} = 12\\\\n_2 = \frac{-6-54}{4}=-15$

Isso nos dá que a quantidade de fileiras necessárias para comportar um total de 360 pessoas sentadas na sala deve ser de 12 fileiras. Podemos confirmar isso criando a sequência (8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52,...). Assim, são necessárias 12 fileiras para que a sala comporte um total de 360 pessoas sentadas.

Entenda mais sobre progressão aritmética em: https://brainly.com.br/tarefa/46987018

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