Question

As retas-suportes dos lados de um triângulo têm equações x+2y-1=0, y-5=0 e x-2y-7=0. Calcule a área da região triangular.
agradeço a quem puder ajudar ^^

Answer 1

Primeiramente, encontremos as coordenadas dos vértices do triângulo, fazendo as interseções das retas duas a duas:

A: y - 5 = 0 e x - 2y - 7 =0 ===> (17 , 5)

B: y - 5 = 0 e x + 2y - 1 = 0 ===> (-9 , 5)

C: x - 2y - 7 = 0 e x + 2y - 1 = 0 ===> (4 , -3/2)

Note agora que a abscissa do vértice C é o ponto médio do segmento AB (esboce o gráfico para facilitar a visualização). Isso significa que o triângulo ABC é isósceles e, portanto, sua altura é (5 + 3/2) = 6,5. Logo:

Sabc = (9 + 17) . 6,5/2 = 84,5 u.a.

Obs.: Poderíamos também inserir os vértices no delta e calcularmos a área como |Δ|/2.

Espero ter ajudado!

Answer 2

A área da região triangular é 84,5.

Precisamos calcular os vértices do triângulo.

Interseção entre as retas x + 2y - 1 = 0 e y - 5 = 0.

Da equação y - 5 = 0, podemos dizer que y = 5. Substituindo o valor de y na equação x + 2y - 1 = 0, obtemos:

x + 2.5 - 1 = 0

x + 10 - 1 = 0

x + 9 = 0

x = -9.

Logo, o ponto de interseção é A = (-9,5).

Interseção entre as retas x - 2y - 7 = 0 e y - 5 = 0.

Como y = 5, então:

x - 2.5 - 7 = 0

x - 10 - 7 = 0

x - 17 = 0

x = 17.

Logo, o ponto de interseção é B = (17,5).

Interseção entre as retas x + 2y - 1 = 0 e x - 2y - 7 = 0.

Da reta x + 2y - 1 = 0, podemos dizer que x = 1 - 2y.

Substituindo o valor de x na reta x - 2y - 7 = 0, obtemos:

1 - 2y - 2y - 7 = 0

-4y - 6 = 0

4y = -6

y = -3/2.

Consequentemente:

x = 1 - 2(-3/2)

x = 1 + 3

x = 4.

Logo, o ponto de interseção é C = (4,-3/2).

Agora, vamos determinar os vetores AB e AC:

AB = (17,5) - (-9,5)

AB = (17 + 9, 5 - 5)

AB = (26,0)

e

AC = (4,-3/2) - (-9,5)

AC = (4 + 9, -3/2 - 5)

AC = (13,-13/2).

Precisamos calcular o determinante da matriz $\left[\begin{array}{ccc}26&0\\13&-\frac{13}{2}\end{array}\right]$. Assim:

det = 26.(-13/2) - 13.0

det = -338/2.

Portanto, a área do triângulo é:

S = |-338/2|/2

S = 338/4

S = 84,5.

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