Question

As retas r: y = 3x – 1 e s: 3x + 2y – 6 = 0 cruzam-se em um ponto P da circunferência λ, de centro (–1, 4). Qual é o ponto diametralmente oposto a P?

Answer 1

Passo 1: Determinar a intersecção das retas r e s:

 y = 3x – 1
 3x + 2y – 6 = 0

3x + 2(3x - 1) - 6 = 0
3x + 6x - 2 - 6 = 0
9x = 8
x = 8/9

y = 3x -1
y = 3*8/9 - 1
y = 5/3

Logo o ponto de intersecção das retas r e s é o ponto P(8/9;5/3)

Passo 2: Determinar a medida do raio da circunferência que é a distãncia de C até P:

$d_{PC}= \sqrt{(\frac{8}{9}+1)^2+(\frac{5}{3}-4)^2}= \sqrt{\frac{730}{9}}$

Passo 3: Determinar a reta que passa pelo ponto P e pelo ponto C:

$\left|\begin{array}{ccc}x&y&1\\-1&4&1\\\frac{8}{9}&\frac{5}{3}&1\end{array}\right|=0\\ \\ 4x+\frac{8y}{9}-\frac{5}{3}-\frac{32}{9}+y-\frac{5x}{3}=0\\ \\ \boxed{21x+17y-47=0}$

Passo 4: Determinar a circunferência λ:

$\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\\ \\ \boxed{\boxed{\left(x-\frac{8}{9}\right)^2+\left(y-\frac{5}{3}\right)^2=\frac{730}{81}}}$

Passo 5: Determinar as intersecções entre a reta que passa pelo ponto P e pelo ponto C e a circunferência:

a) 
$21x+17y-47=0\\ \\ 21x=47-17y\\ \\ \boxed{x=\frac{47-17y}{21}}$

b) 
Substituindo:

$(\frac{47-17y}{21})^2+(y-\frac{5}{3})^2=\frac{730}{81}\\ \\ \frac{289 y^2}{441}-\frac{1598 y}{441}+\frac{2209}{441}+y^2-\frac{10 y}{3}+\frac{25}{9}-\frac{730}{81}=0\\ \\ \frac{730 y^2}{441}-\frac{3068 y}{441}-\frac{4864}{3969}=0$

Resolvendo esta equação de segundo grau por Bhaskara (claro que depois de muitas contas) chegara ao resultado de y. Depois é só substituir o valor de y em:

y = 3x - 1 para encontrar o valor de x