Question

As retas r e s são definidas pelas equações r: x – 2y + 1 = 0 e s: x + y - 7 = 0, calcule a área do triângulo
formado pelas retas r e s com o eixo x.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria analítica.

Sejam as retas $r:~x-2y+1=0$ e $s:~x+y-7=0$. Buscamos a área do triângulo formado pela intersecção das retas $r$ e $s$ e o eixo $x$.

Primeiro, encontramos as equações reduzidas das retas:

$r:~y=\dfrac{x+1}{2}~~~~~~s:~y=7-x\\\\\\ \dfrac{x+1}{2}=7-x$

Multiplique ambos os lados da equação por um fator $2$

$x+1=14-2x$

Some $2x-1$ em ambos os lados da igualdade

$3x=13$

Divida ambos os lados da equação por um fator $3$

$x=\dfrac{13}{3}$

Substituindo este resultado em qualquer uma das equações, temos:

$y=\dfrac{\dfrac{13}{3}+1}{2}\\\\\\ y=\dfrac{\dfrac{16}{3}}{2}\\\\\\y=\dfrac{8}{3}$

Dessa forma, o ponto de intersecção das retas $r$ e $s$ tem coordenadas $\left(\dfrac{13}{3},~\dfrac{8}{3}\right)$.

Agora, calculamos os pontos de intersecção das retas com o eixo, fazendo $y=0$

Para a reta $r$:

$\dfrac{x+1}{2}=0\\\\\\ x+1 =0\\\\\\ x=-1$

Para a reta $s:$

$7-x=0\\\\\\ x=7$

Então, os pontos de intersecção das retas $r$ e $s$ com o eixo das abscissas são, respectivamente, $(-1,~0)$ e $(7,~0)$.

A área deste triângulo pode ser calculada utilizando determinantes: seja o triângulo $\triangle{BCD}$ no plano cartesiano formado pelos vértices de coordenadas $B(x_0,~y_0),~C(x_1,~y_1)$ e $D(x_2,~y_2)$. Sua área pode ser calculada pela fórmula: $A=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\\end{Vmatrix}$.

Assim, teremos:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}\dfrac{13}{3}&\dfrac{8}{3}&1\\\\-1&0&1\\\\7&0&1\\\end{Vmatrix}$

Para calcular este determinante de ordem $3$, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz e calcular a diferença da soma dos produtos dos elementos das diagonais principais a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\left|\begin{vmatrix}\dfrac{13}{3}&\dfrac{8}{3}&1\\\\-1&0&1\\\\7&0&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}\dfrac{13}{3}&\dfrac{8}{3}\\\\-1&0\\\\7&0\\\end{matrix}\right|$

Aplique a Regra de Sarrus:

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\left|\dfrac{13}{3}\cdot0\cdot1+\dfrac{8}{3}\cdot 1\cdot 7+1\cdot(-1)\cdot0-\left(\dfrac{8}{3}\cdot(-1)\cdot1+\dfrac{13}{3}\cdot1\cdot0+1\cdot0\cdot7\right)\right|$

Multiplique e some os valores

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\left|0+\dfrac{56}{3}+0-\left(-\dfrac{8}{3}+0+0\right)\right|\\\\\\ A=\dfrac{1}{2}\cdot\left|\dfrac{56}{3}+\dfrac{8}{3}\right|\\\\\\ A=\dfrac{1}{2}\cdot\left|\dfrac{64}{3}\right|$

Calcule o módulo do número positivo e multiplique os termos

$A=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{64}{3}\\\\\\ A=\dfrac{32}{3}~~\checkmark$

Esta é a área da região triangular que buscávamos.