Question

as retas que se intersectam as conicas em dois pontos sao denominaods de retas secantes e as retas secantes que passam pelos pontos P e Q ATINGIM UM posiçao limite quando Q e P sao definidas como retas tangentes ....sejam as retas da familia Rm:y=mx-1 tangente a hiperbole 4x^2-9y^2=36.determine a retas da familia Rm, tangente a hiperbole dela

Answer 1

hipérbole:

4x²-9y²=36

podemos ver que o centro da hipérbole se encontra ao centro do plano cartesiano pois a equação de qualquer cônica, reta, parabolóide, etc envolve a variação em torno de um eixo. substituindo y=0

4x²=36
x²=9
x=+-3

reta:

y=mx-1
para encontrar o zero da reta, igualamos a zero


mx-1=0
mx=1
x=1/m

agora para encontrar as retas tangentes só teremos que alterar seu coeficiente linear pois todas possuirão a mesma inclinação e precisarão ser paralelas à reta mencionada inicialmente.

portanto nomearei uma outra reta de mesmo coeficiente angular e coeficiente linear k

y1=mx+k1
e também tem o coeficiente negativo
y2=mx+k2, onde k2<0

substituindo na equação da hipérbole

4x²-9y²=36
4x²-9(mx+k)²=36
4x²-9(m²x²+2mxk+k²)=36
4x²-9m²x²-18mxk-9k²-36=0
reajustando os termos

x²(4-9m²)+x(18mk)-(9k²+36)=0
o delta precisa ser igual a zero, logo

0=(18mk)²-4(4-9m²)(-9k²-36)
324m²k²+(-16+36m²)(-9k²-36)=0
324m²k²+(144k²+576-324m²k²-1296m²)=0
324m²k²+144k²+576-324m²k²-1296=0
144k²-720=0
144k²=720
k²=720/144
k²=5
k=+-√5

voltando para a equação das retas

y1=mx+k1
y2=mx+k2

substituindo

y1=mx+√5 <=== resposta
y2=mx-√5 <=== resposta
__________



obs: as duas são as respostas.