Question

As retas de equações y=2x+3, y=-x+4 e Y=1/2x+1 interceptam - se duas a duas, determinando um triangulo. Calcule a área desse triangulo.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução é simples.
Tem-se que as seguintes retas encontram-se, duas a duas,formando os vértices de um triângulo. Pede-se a área desse triângulo.
As retas são estas:

f(x) = 2x + 3         . (I)
g(x) = - x + 4       .(II)
h(x) = -x/2 + 1    .(III)

Como elas se encontram duas a duas, então vamos igualar f(x) a g(x), depois f(x) a h(x) e, por último g(x) a h(x).
Assim, teremos:

i) igualando f(x) a g(x). Assim teremos:

2x + 3 = - x + 4 ---- passando "-x" para o 1º membro e "3" para o 2º, temos:
2x+x = 4 - 3
3x = 1
x = 1/3 <--- Este será o valor da abscissa (x) no encontro de f(x) com g(x).
Agora, para encontrar a ordenada (y), vamos substituir, em quaisquer uma delas, o "x' por "1/3". Vamos em f(x), que é esta:

f(x) = 2x + 3 ---- substituindo-se "x' por "1/3", teremos:
f(1/3) = 2*1/3 + 3
f(1/3) = 2/3 + 3 ---- mmc = 3. Assim:
f(1/3) = (1*2 + 3*3)/3
f(1/3) = (2+9)/3
f(1/3) = 11/3 <-- Ete é o valor da ordenada "y" no ponto de encontro de f(x) com g(x).
Assim, já temos que o ponto de vértice, no encontro de f(x) com g(x) será o ponto:

A(1/3; 11/3)

ii) Igualando f(x) a h(x). Assim teremos:

2x + 3 = x/2 + 1 --- mmc, no 2º membro = 2. Assim:
2x + 3 = (1*x + 2*1)/2
2x + 3 = (x+2)/2 --- multiplicando-se em cruz, teremos;
2*(2x+3) = x+2
4x+6 = x+2 --- passando-se "x" para o 1º membro e "6' para o 2º, temos:
4x - x = 2 - 6
3x = - 4
x = - 4/3 <--- Este é o valor da abscissa "x" no ponto de encontro de f(x) com h(x).

Agora, para encontrar o ponto de ordenada "y" vamos substituir "x' por "-4/3" em uma das expressões. Vamos na expressão f(x), que é esta:

f(x) = 2x + 3 ---- substituindo-se "x" por "-4/3", teremos;
f(-4/3) = 2*(-4/3) + 3
f(-4/3) = -8/3 + 3 ---- mmc = 3. Assim:
f(-4/3) = (1*(-8)+3*3)/3
f(-4/3) = (-8+9)/3
f(-4/3) = 1/3 <-- Este é o ponto de ordenada "y" no ponto de encontro de f(x) com h(x). Assim, o ponto de vértice será o ponto B que tem as seguintes coordenadas:

B(4/3; 1/3)

iii) Finalmente, vamos igualar g(x) a h(x). Assim teremos:

-x + 4 = x/2 + 1 ---- mmc = 2. Assim:
-x + 4 = (1*x + 2*1)/2
-x + 4 = (x+2)/2 ---- multiplicando-se em cruz, temos:
2*(-x+4) = x + 2
-2x + 8 = x + 2 --- passando-se "x" para o 1º membro e "8" para o 2º, temos:
-2x - x = 2 - 8
- 3x = - 6 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
3x = 6
x = 6/3
x = 2 <--- Este é a abscissa "x' no ponto de encontro de g(x) com h(x).

Agora, para saber qual é a ordenada "y", vamos substituir "x" por "2" em quaisquer uma das expressões. Vamos em g(x), que é esta:

g(x) = - x + 4 ---- substituindo-se "x" por "2", teremos:
g(2) = - 2 + 4
g(2) = 2 <--- Esta é a ordenada (y) no ponto de encontro de g(x) com h(x).
Assim, o ponto de vértice será o ponto C, que terá as seguintes coordenadas:

C(2; 2) .

iv) Agora veja: para encontrar a área de um triângulo a partir de seus vértices, multiplicaremos "1/2" pelo módulo do determinante da matriz formada a partir de cada vértice. Assim, teremos (já deixando a matriz no ponto de desenvolver pela regra de Sarrus):
 
.................||1/3....11/3....1|1/3....11/3||
d = (1/2) * ||-4/3...1/3....1|-4/3.....1/3|| --- desenvolvendo, teremos:
.................||2.........2....1|2............2||

d = (1/2)*|(1/3)*1/3)*1+(11/3)*1*2+1*(-4/3)*2 - [2*1/3)*1+2*1*1/3+1*(-4/3)*11/3)]|

d = (1/2)*|1/9 + 22/3 - 8/3 - [2/3 + 2/3 - 44/3]|
d = (1/2)*|1/9 + 14/3 - [4/3 - 44/3]|
d = (1/2)*|(1*1+3*14)/9 - [- 40/3]|
d = (1/2)*|(1+42)/9 - [-40/3]|
d = (1/2)*|43/9 - [-40/3]| --- retirando-se os colchetes, teremos;
d = (1/2)*|43/9 + 40/3| ---- mmc = 9. Assim:
d = (1/2)*|(1*43+3*40)/9|
d = (1/2)*|(43+120)/9|
d = (1/2)*|163/9| ---- como |163/9| = 163/9, teremos:
d = (1/2)*(163/9) --- efetuando este produto, teremos:
d = 1*163/2*9
d = 163/18  u.a <--- Esta é a resposta (observação: u.a. = unidades de área).

Se você quiser dividir "163" por "18" encontrará uma dízima igual a "9,0555....". Logo:

d = 9,0555.... u.a. <--- A resposta também poderia ser dada desta forma, mas apenas se você quiser.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.