As relações trigonométricas são muito importantes no campo da geometria e têm várias aplicações em engenharias e na arquitetura. Entender as características, como distâncias e áreas, de estruturas, seja um parafuso, seja uma ponte, é crucial para essas áreas. Por exemplo, conhecer a área de um objeto implica diretamente fazer cálculos de pressão e resistência de materiais ou de quanto material
é necessário para a fabricação do objeto. Assim, entender os ângulos
e suas relações trigonométricas é essencial para desenhar projetos
de construção.
Imagine que você tenha um sítio e esteja construindo um galpão
para guardar seus equipamentos e precisa definir algumas medidas específicas para o telhado.
Esquema do galpão: Considerando que as medidas dos lados do telhado são AB = 11,00m e AD = 10,78m e que o ângulo é ABC = 90°. a) Qual o valor do ângulo em A, ou seja, BAD. b)Qual o comprimento BC? c) Qual a área da parte frontal, ou seja, de ABC
Soluções para a tarefa
a) O valor do ângulo em A é 11° aproximadamente.
b) O comprimento BC é 2,24 m aproximadamente.
c) A área da parte frontal é 12,30 m² aproximadamente.
Relações trigonométricas
a) São informadas as medidas dos lados AB (hipotenusa do triângulo ABD) e AD (cateto adjacente ao ângulo BÂD). Assim, podemos utilizar a relação cosseno.
cosseno θ = cateto adjacente
hipotenusa
cos (BÂD) = AD
AB
cos (BÂD) = 10,78
11
cos (BÂD) = 0,98
O ângulo cujo cosseno é igual a 0,98 é aproximadamente 11°.
BÂD ≈ 11°
Agora, precisamos da medida da altura BD. Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
AB² = AD² + BD²
11² = 10,78² + BD²
BD² = 11² - 10,78²
BD² = 121 - 116,2084
BD² = 4,7916
BD ≈ 2,19 m
b) Pelas relações métricas no triângulo retângulo, temos:
b·m = c·h
BC·AD = AB·BD
BC·10,78 = 11·2,19
BC·10,78 = 24,09
BC = 24,09/10,78
BC ≈ 2,24 m
c) Para determinar a área, precisamos da medida AC.
AC² = AB² + BC²
AC² = 11² + 2,24²
AC² = 121 + 5,0176
AC² = 126,0176
AC ≈ 11,23 m
ÁREA
A = AC·BD
2
A = 11,23·2,19
2
A = 24,59
2
A ≈ 12,30 m²
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Resposta:
Padrão de Resposta Esperado
Explicação passo a passo:
a) Usando as medidas AB e AD, encontra-se o ângulo BÂD. Assim, usando cosseno:
cos (BÂD) = AD/AB = 10,78/11 = 0,98 ou seja, BÂD = cos -1 (0,98) ~11,48°.
b) Sabendo que ABC = 90°, ao usar o triângulo ABC e o ângulo BÂD para resolver essa questão,BÂD = BÂC. Assim, usando a tangente:
tg (BÂC) = BC/AB ou seja, BC = AB tg(BÂC). Substituindo os valores, tem-se:
BC = 11,00 tg(11,48o) ~ 2,23 m.
c) Para encontrar a área do triângulo ABC é necessário encontrar a altura BD e a base AC. Usando o triângulo ABD, a altura será ℎ = BD. Logo:
AB² = h² + AD²
h² = AB²- AD²
h = raiz de AB² - AD²
Ao substituir os valores, ℎ = raiz de 11,00² − 10,78² ~ 2,19 m.
Para calcular a base b = AC, considerando o triângulo ABC , pode-se usar o teorema de Pitágoras:
b² = AB² + BC²
b = raiz de AB² + BC²
Ao substituir os valores, B será igual a:
b = raiz de 11,00² + 2,23² ~ 11,22 m.
Portanto, a área frontal A será:
A = b.h/2 =
11,22 ∙ 2,19 / 2 =
12,29 m²
Assim, a partir dos cálculos das relações trigonométricas do triângulo retângulo, é possível resolver as questões envolvendo ângulos, comprimentos e área.