Question

As rampas de escape ou áreas de escape têm sido construídas em muitas estradas em declive, nas áreas montanhosas e são usadas para permitir parar com segurança aos veículos fora de controle sem fazer danos ao motorista e passageiros que compartilham a estrada conosco.
Vamos imaginar uma situação em que temos um caminhão desgovernado, cujo freio parou de funcionar e que chega ao final do trecho em declive com uma velocidade de 144 km/h, imediatamente antes de o motorista desviá-lo para uma rampa de escape com coeficiente de atrito entre a rampa e o pneu igual a 0,82 e com inclinação para cima de 18 graus. A massa do caminhão junto com a sua mercadoria é de 6500 kg.
Responda às perguntas seguintes, deixando claro o seu raciocínio através da análise do diagramas das componentes nos eixos x e y, cálculos e textos, conforme orientações colocadas no inicio da prova:

a) Faça um diagrama do corpo livre das forças que atuam sobre o caminhão

b) Calcule o módulo da aceleração que irá fazer o caminhão parar

c) Use a equação de Torricelli para calcular o comprimento mínimo que a rampa precisaria ter para o caminhão parar.



Agora suponha que não existisse atrito entre a rampa e o pneu:



d) Faça um diagrama do corpo livre das forças que atuam sobre o caminhão.

e) Calcule o módulo da aceleração que irá fazer o caminhão parar.

f) Use a equação de Torricelli para calcular o comprimento mínimo que a rampa precisaria ter para o caminhão parar.

g) A massa do caminhão interfere no cálculo da letra (b)? Interfere no cálculo da letra (e)? Justifique a sua resposta.

Answer 1

a) O diagrama de corpo livre está na figura abaixo.

Repare que a força peso se decompõe em duas partes:

$P = P \cos(\theta)-P\sin(\theta)$

(sinal negativo porque a velocidade vai pra direita e a aceleração para a esquerda)

b) A aceleração é dada pela componente paralela à rampa e vale -10,9m/s²

Repare que a componente "vertical" $P \cos(\theta)$ e a normal $N$ se cancelam uma vez que o caminhão nem flutua acima da rampa e nem cava um buraco na rampa como se estivesse afundando.

Portanto a força resultante é $F = ma = -mg\sin(\theta) + F_{at}$

Usando a equação $F_{at}=\mu N$ para a força de atrito e sabendo que a normal e força peso se cancelam, encontramos:

$F_{at}=\mu N= \mu mg \cos(\theta)$

Como a força de atrito é contrária ao movimento:

$ma = -mg\sin(\theta) -\mu mg \cos(\theta)$

$a = -g\sin(\theta) -\mu g \cos(\theta)$

Assumindo que g = 10m/s², encontramos que a aceleração do caminhão vale -10,9m/s²

$a = -10\cdot\sin(18) -0,82\cdot10\cdot \cos(18)=-10,9$

c) Usando a equação de Torricelli, a rampa precisa ter 73,4 metros de comprimento para que o caminhão possa parar.

Primeiro, convertemos a velocidade de 144km/h para 40m/s:

1m/s = 3,6km/h ==> 40m/s = 144km/h

Usando a equação de Torricelli (com velocidade final igual a zero):

$v^2 = v_0^2 +2 a \Delta s$

$0^2 = 40^2 -2 \cdot10,9 \Delta s$

$\Delta s = \dfrac{1600}{2 \cdot10,9}=73,4m$

d) O diagrama continua quase o mesmo, com a diferença que não teremos a força de atrito.

e) sem a força de atrito, a aceleração depende apenas de $-P\sin(\theta)$

A componente "vertical" $P \cos(\theta)$ e a normal $N$ se cancelam, portanto a força resultante é $F = ma = -mg\sin(\theta)$

Como não há ação da força de atrito:

$a = -g\sin(\theta)=-10\sin(18) = -3,1m/s^2$

f) Usando a equação de Torricelli (com velocidade final igual a zero):

$v^2 = v_0^2 +2 a \Delta s$

$0^2 = 40^2 -2 \cdot3,1 \Delta s$

$\Delta s = \dfrac{1600}{2 \cdot3,1}=258,1m$

g) a massa do caminhão não interfere nos cálculos uma vez que a massa se cancela na equação da força resultante em b) e e).