Matemática, perguntado por matheus2009190p6x4r1, 1 ano atrás

As raízes inteiras da equação 2^{3x} -7.2^{x}+6 = 0


andre2101: 2^3x?

Soluções para a tarefa

Respondido por morgadoduarte23
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Boa tarde,

Antes de entrar na técnica adequada para resolver, consegue-se ver que

x = 0 é uma solução

2 ^(3 * 0 ) - 7 * (2^ 0) + 6 = 0

⇔ 2 ^0 - 7  * 2 ^0 + 6 = 0

⇔ 1 - 7  + 6= 0

⇔ 0 = 0  condição verdadeira

Vamos entrar procurar mais raízes reais, se as houver.

+++++++++

Uma das técnicas de resolução de equações exponenciais é isolar no 1º membro e no segundo membro da equação, potências que tenham a mesma base e depois igualar os expoentes.
O que não é possível aqui.

Assim temos que usar a técnica de substituição de variável.

2^{3x} -7.2^{x}+6 = 0

⇔ ( 2^x) ³  - 7 * ( 2 ^x )  + 6 = 0

fazendo (2 ^x ) = y  ( a tal substituição de variável)

³ - 7 y + 6 = 0

Porque os coeficientes são números inteiros, vamos "explorar"  um a um os divisores do termo independente, para ver se encontramos uma raiz desta equação do 3º grau,
Quando a encontrarmos usamos a Regra de Ruffini para baixar do terceiro para o 2º grau, que se resolve facilmente

Divisores de 6 = { - 6 ; - 3  ; - 2   ; -1  ;  1 ; 2  ; 3 ; 6 }

Com a prática começamos a ver quase imediatamente o que nos interessa
nestes divisores, especialmente em equações "mais simples".
Não lhe chamemos palpite.

usando o divisor  + 1

³ - 7 * 1 + 6 = 0  

⇔ 7 - 7  = 0

Então 1 é raiz desta equação do 3 grau

Regra de Ruffini

    | 1      0       - 7       6
1  |         1         1      -6 
--------------------------------
    | 1      1        - 6      0

Temos que  

y ³ - 7 y + 6  = ( y -1 ) * ( y ² + y - 6 )

resolvendo 

 y ² + y - 6  = 0

Δ = 1 - 4 * 1 * ( - 6 )  = 25

    y' = (- 1 + √25 ) /2

⇔ y' = 2

    y '' = (- 1 - √25 ) /2

⇔ y'' = - 3

C.S. = { - 3  ;  2 }

Mas    y = 2 ^ x 

Tem-se que verificar se todas as soluções de y podem ser aproveitadas

2^x = - 3 , daqui não posso tirar conclusão nenhuma

vejamos

2^x = 2  

⇔  2^ x = 2 ^ 1

⇔ x = 1  

solução que já tínhamos 

Resposta 

C.S. = { 0 ; 1 } , duas soluções reais

+++++++++++++++++
(NOTA : sinal ( * ) é multiplicação  ;  sinal ( / ) é divisão   ;  ( ^) sinal de potência )+++++++++++++++++
Espero ter ajudado.Procuro  explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.Sei que ganho menos pontos, mas pretendo ensinar devidamente o que sei.
Esforçando-me por entregar a  Melhor  Resposta  possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário.Bom estudo

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