As raízes inteiras da equação 2^{3x} -7.2^{x}+6 = 0
andre2101:
2^3x?
Soluções para a tarefa
Respondido por
111
Boa tarde,
Antes de entrar na técnica adequada para resolver, consegue-se ver que
x = 0 é uma solução
2 ^(3 * 0 ) - 7 * (2^ 0) + 6 = 0
⇔ 2 ^0 - 7 * 2 ^0 + 6 = 0
⇔ 1 - 7 + 6= 0
⇔ 0 = 0 condição verdadeira
Vamos entrar procurar mais raízes reais, se as houver.
+++++++++
Uma das técnicas de resolução de equações exponenciais é isolar no 1º membro e no segundo membro da equação, potências que tenham a mesma base e depois igualar os expoentes.
O que não é possível aqui.
Assim temos que usar a técnica de substituição de variável.
2^{3x} -7.2^{x}+6 = 0
⇔ ( 2^x) ³ - 7 * ( 2 ^x ) + 6 = 0
fazendo (2 ^x ) = y ( a tal substituição de variável)
y ³ - 7 y + 6 = 0
Porque os coeficientes são números inteiros, vamos "explorar" um a um os divisores do termo independente, para ver se encontramos uma raiz desta equação do 3º grau,
Quando a encontrarmos usamos a Regra de Ruffini para baixar do terceiro para o 2º grau, que se resolve facilmente
Divisores de 6 = { - 6 ; - 3 ; - 2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6 }
Com a prática começamos a ver quase imediatamente o que nos interessa
nestes divisores, especialmente em equações "mais simples".
Não lhe chamemos palpite.
usando o divisor + 1
1 ³ - 7 * 1 + 6 = 0
⇔ 7 - 7 = 0
Então 1 é raiz desta equação do 3 grau
Regra de Ruffini
| 1 0 - 7 6
1 | 1 1 -6
--------------------------------
| 1 1 - 6 0
Temos que
y ³ - 7 y + 6 = ( y -1 ) * ( y ² + y - 6 )
resolvendo
y ² + y - 6 = 0
Δ = 1 - 4 * 1 * ( - 6 ) = 25
y' = (- 1 + √25 ) /2
⇔ y' = 2
y '' = (- 1 - √25 ) /2
⇔ y'' = - 3
C.S. = { - 3 ; 2 }
Mas y = 2 ^ x
Tem-se que verificar se todas as soluções de y podem ser aproveitadas
2^x = - 3 , daqui não posso tirar conclusão nenhuma
vejamos
2^x = 2
⇔ 2^ x = 2 ^ 1
⇔ x = 1
solução que já tínhamos
Resposta
C.S. = { 0 ; 1 } , duas soluções reais
+++++++++++++++++
(NOTA : sinal ( * ) é multiplicação ; sinal ( / ) é divisão ; ( ^) sinal de potência )+++++++++++++++++
Espero ter ajudado.Procuro explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.Sei que ganho menos pontos, mas pretendo ensinar devidamente o que sei.
Esforçando-me por entregar a Melhor Resposta possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário.Bom estudo
Antes de entrar na técnica adequada para resolver, consegue-se ver que
x = 0 é uma solução
2 ^(3 * 0 ) - 7 * (2^ 0) + 6 = 0
⇔ 2 ^0 - 7 * 2 ^0 + 6 = 0
⇔ 1 - 7 + 6= 0
⇔ 0 = 0 condição verdadeira
Vamos entrar procurar mais raízes reais, se as houver.
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Uma das técnicas de resolução de equações exponenciais é isolar no 1º membro e no segundo membro da equação, potências que tenham a mesma base e depois igualar os expoentes.
O que não é possível aqui.
Assim temos que usar a técnica de substituição de variável.
2^{3x} -7.2^{x}+6 = 0
⇔ ( 2^x) ³ - 7 * ( 2 ^x ) + 6 = 0
fazendo (2 ^x ) = y ( a tal substituição de variável)
y ³ - 7 y + 6 = 0
Porque os coeficientes são números inteiros, vamos "explorar" um a um os divisores do termo independente, para ver se encontramos uma raiz desta equação do 3º grau,
Quando a encontrarmos usamos a Regra de Ruffini para baixar do terceiro para o 2º grau, que se resolve facilmente
Divisores de 6 = { - 6 ; - 3 ; - 2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6 }
Com a prática começamos a ver quase imediatamente o que nos interessa
nestes divisores, especialmente em equações "mais simples".
Não lhe chamemos palpite.
usando o divisor + 1
1 ³ - 7 * 1 + 6 = 0
⇔ 7 - 7 = 0
Então 1 é raiz desta equação do 3 grau
Regra de Ruffini
| 1 0 - 7 6
1 | 1 1 -6
--------------------------------
| 1 1 - 6 0
Temos que
y ³ - 7 y + 6 = ( y -1 ) * ( y ² + y - 6 )
resolvendo
y ² + y - 6 = 0
Δ = 1 - 4 * 1 * ( - 6 ) = 25
y' = (- 1 + √25 ) /2
⇔ y' = 2
y '' = (- 1 - √25 ) /2
⇔ y'' = - 3
C.S. = { - 3 ; 2 }
Mas y = 2 ^ x
Tem-se que verificar se todas as soluções de y podem ser aproveitadas
2^x = - 3 , daqui não posso tirar conclusão nenhuma
vejamos
2^x = 2
⇔ 2^ x = 2 ^ 1
⇔ x = 1
solução que já tínhamos
Resposta
C.S. = { 0 ; 1 } , duas soluções reais
+++++++++++++++++
(NOTA : sinal ( * ) é multiplicação ; sinal ( / ) é divisão ; ( ^) sinal de potência )+++++++++++++++++
Espero ter ajudado.Procuro explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.Sei que ganho menos pontos, mas pretendo ensinar devidamente o que sei.
Esforçando-me por entregar a Melhor Resposta possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário.Bom estudo
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