Question

As raízes do polinômio x³ - 12x² + 47x - 60 são equivalentes as medidas de um triângulo retângulo cuja sua hipotenusa mede 5cm 

Qual é a área deste triângulo?​

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Temos o seguinte polinômio:

$\Large\red{ \boxed{ \sf{x {}^{3} - 12x {}^{2} + 47x - 60}}}$

A questão fala que as raízes desse polinômio representam os lados de um triângulo, mas note que a própria que questão nos diz que a Hipotenusa mede 5cm, aí devemos lembrar que a Hipotenusa é um dos lados desse triângulo, ou seja, se o lado corresponde a raiz, a primeira raiz é 5.

Com esse dado, vamos usar o dispositivo Briot-ruffini para descobrir as demais. Do lado esquerdo fica a raiz que sabemos o valor e do lado direito ficam os coeficientes do polinômio:

$\sf{ \boxed{1}x {}^{3} \boxed{ - 12}x {}^{2} + \boxed{ 47}x \boxed{- 60}} \\ \\ \begin{array}{r|c} 5&1& - 12&47& - 60 \\ & \underbrace{(1)}_{grau \: 2} & \underbrace{( - 7)}_{grau \: 1}& \underbrace{(12)}_{grau \: 0}& \underbrace{(0)}_{resto} \\ & 1x {}^{2} & - 7x& + 12\end{array} \\ \\ \sf{contas : } \\ 1.5 = 5 - 12 = - 7 \\ 5. ( - 7) = - 35 + 47 = 12 \\ 12.5 = 60 - 60 = 0$

Resolvendo a equação do segundo grau:

$\Large\boxed{ \sf{x {}^{2} - 7x + 12 = 0}} \\ \\ \sf{\bf{i) coeficientes:}}\\ \begin{cases}a = 1 \\ b = - 7\\ c = 12 \end{cases} \\ \\ \sf{\bf{ ii) Discriminante}}\\ \boxed{\Delta = b {}^{2} - 4.a.c} \\ \Delta = ( - 7) {}^{2} - 4.1.12 \\\Delta = 49 - 48 \\ \Delta = 1 \\ \\ \sf{\bf{iii)Bh\acute{a}skara}}\\\boxed{x = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2.a} } \\ \\ x = \frac{ - ( - 7) \pm \sqrt{1} }{2.1} \\ \\ x = \frac{7 \pm1}{2} \longrightarrow \begin{cases}x_1 = \frac{7 + 1}{2} \\ x _1 = \frac{8}{2} \\ x_1 = 4 \\ \\ x_2 = \frac{7 - 1}{2} \\ x _2 = \frac{6}{2} \\ x _2 = 3\end{cases}$

Temos então que as raízes são:

$r\sf{\rightarrow \: raiz} \\ \begin{cases}r_1 = 5 \\ r_2 = 4 \\ r_3 = 3 \end{cases}$

Para calcular a área usaremos apenas os catetos, ou seja, as medidas (3) e (4):

$A = \frac{b \times h}{2} \\ \\ A = \frac{3 \times 4}{2} \\ \\ A = \frac{12}{2} \\ \\ \boxed{A = 6cm {}^{2} }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️