As raízes de uma função são os valores que, substituídos nos valores das incógnitas, anulam o valor da função, ou seja, fazem a função resultar em zero. Assim, a soma e o produto, respectivamente, da função f(x) = x² + x – 6 são:
a)1 e 6.
b)2 e -3.
c)-1 e -6.
d)-2 e 3.
e)5 e 6
Soluções para a tarefa
Resposta:
C ) Soma das raízes " x' + x '' = - 1 Produto das raízes " x' * x '' = - 6
Sendo as raízes x' = - 3 e x'' = 2
Explicação passo-a-passo:
Pedido:
As raízes de uma função são os valores que, substituídos nos valores das incógnitas, anulam o valor da função, ou seja, fazem a função resultar em zero.
Assim, a soma e o produto, respetivamente, da função f(x) = x² + x – 6 são:
Resolução:
Há uma forma de apresentar a soma e o produto de raízes diretamente olhando para a equação do segundo grau, ligada a uma função do segundo grau.
a x² + b x + c = 0
Dividir tudo por "a"
(a x²) / a + (b x) / a + c / a = 0/a
x² + (b/a) x + c/a = 0
Colocar na forma:
x² - ( - b/a) x + c/a = 0
x² - S x + P = 0 em que S é a soma das raízes ; P o produto de raízes
A partir daqui a resolução deste problema
Neste caso, aplicando x² - S x + P = 0
x² + x – 6 = 0
x² - (- 1 ) * x - 6 = 0
Donde se retira que a Soma das raízes é " - 1 " e o Produto é " - 6 "
Resposta : alínea c ) - 1 e - 6 com x' = - 3 e x'' = 2
Terminou. Já tem o resultado final.
Conclusão : é simples e rápido.
A partir daqui é para que perceba que isto, que rapidamente aparece,
não cai do céu. Prova-se.
E para todos os outros que também queiram aproveitar .
Há várias maneiras de chegar ao resultado que se pretende obter.
Podia usar a Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes e depois as somar, e em seguida as multiplicar.
A funções do segundo grau, quando se procuram suas raízes, dão origem a uma equação do segundo grau
a x² + b x + c = 0 onde a ; b ; c ∈ R e a ≠ 0
As raízes são:
x' = ( - b + √Δ) / 2a
x'' = ( - b - √Δ) / 2a
Sendo Δ = b² - 4 * a * c
Soma das raízes
x' + x'' = [ ( - b + √Δ) / 2a ] + [ ( - b - √Δ) / 2a ]
Temos duas frações com o mesmo denominador. Podemos somar os numeradores mantendo os denominadores
x' + x'' = [ ( - b + √Δ) + ( - b - √Δ) ] / 2a
x' + x'' = ( - b + √Δ - b - √Δ) / 2a
Nota 1 → + √Δ - √Δ anulam-se, na sua soma, porque são simétricos
x' + x'' = - 2b / 2a
Nota 2 → o 2 do numerador cancela-se com o 2 do denominador
x' + x'' = - b/a
Assim vê-se como chegar diretamente à soma com cálculos quase nenhuns.
Produto das raízes
x' * x'' = [ ( - b + √Δ) / 2a ] * [ ( - b - √Δ) / 2a ]
Nota 3 → temos duas frações; seu produto é igual ao produto dos numeradores a dividir pelo produto dos denominadores.
x' * x'' = [ ( - b + √Δ) * ( - b - √Δ) ] / ( 2a * 2a )
Nota 4 → Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica ( inclui adição e subtração)
x' * x'' = [ ( - b ) * ( - b ) + ( - b ) * ( - √Δ) + √Δ *( - b ) + √Δ * ( - √Δ) ] / ( 4a²)
x' * x'' = [ b² + b√Δ - b√Δ - √Δ² ] / ( 4a²)
Nota 5 → " + b√Δ" e " - b√Δ " estão a somar e são simétricos. Anulam-se.
x' * x'' = [ b² - Δ ] / ( 4a²)
Nota 6 → substituindo Δ pelo que representa Δ = b² - 4 a c
x' * x'' = [ b² - ( b² - 4 a c ) ] / ( 4a²)
x' * x'' = ( b² - b² + 4 a c ) / ( 4a²)
Nota 7 → b² - b² estão a somar e são simétricos. Anulam-se.
x' * x'' = (4 a c) / ( 4a²)
Nota 8 → o "4a" do numerador cancela-se com o "4a" do denominador.
x' * x'' = c/a
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Sinais: ( * ) multiplicar ( / ) dividir
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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.
Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a
resolução a possa compreender otimamente bem.
Resposta:
C)-1 e -6
Explicação passo-a-passo:
As raízes de uma função são os valores que, substituídos nos valores das incógnitas, anulam o valor da função, ou seja, fazem a função resultar em zero. Assim, a soma e o produto, respectivamente, da função
f(x) = x² + x – 6 são:
a = 1; b = 1; c= -6
S = - b/a = -1/1 = -1
P = c/a = -6/1= -6
Soma: (2)+(-3)= 2-3 = -1
Produto: (2).(-3)= -6
R : soma e produto
C)-1 e -6