Question

As raízes de $f(x)=ax^2+bx+c$ têm soma igual a -4 e produto -5. Determine a expressão de f(x) sabendo que o ponto (-2,18) pertence ao seu gráfico.




(RP6)

Answer 1

Resposta:

f(x) = - 2x² - 8x + 10

Explicação passo-a-passo:

Além da fórmula de Bhaskara, podemos obter as nossas raízes por outro método mais simples, rápido e prático. O método da soma e produto!

O método da soma e produto consiste em realizar cálculos com as letras da função a fim de descobrir suas raízes:

→ Para a somar das raízes, determinamos:

x' + x'' = - b/ a

Como  a soma é "- 4", vamos excluir do sistema x' + x'':

- b/ a = -4 ← isolando a letra b, temos:

-b = -4a → b = 4a  Equação 1

Mantenha a equação 1, "b = 4a", reservada, pois a usaremos mais tarde!

→ Para o produto das raízes, determinamos:

x' × x'' = c / a

Como o produto é "- 5", vamos excluir do sistema x' × x'':

c/ a = -5 ← isolando a letra c, temos:

c = -5a   Equação 2

Mantenha a equação 2 na geladeira, em breve a usaremos!

A fórmula das raízes que ele busca é uma função de segundo grau, como fórmula geral y = ax² + bx + c. Além de ele fornecer o tipo de equação que ele procura, ele nos fornece uma coordenada (-2, 18) em que os pontos x = -2 e o y = 18.

Substituindo os x por -2 e y por 18 na equação geral, teremos:

a(-2)² + b(-2) + c = 18    Equação 3

Lembra das equações 1 e 2 que pedi para reservamos, pois em breve a usaríamos? Chegou o momento de usá-las. Substitua o "b" da equação 3 pela equação 1, e substitua o "c" da equação 3 pela equação 2. Ficará:

a(-2)² + (4a)(-2) + (-5a) = 18    Equação 4

Agora é só resolver os cálculos da equação 4 e descobrir o valor de "a":

4a - 8a - 5a = 18

4a - 13a = 18

-9a = 18

a = 18 / (-9) → a = -2

O valor de "a" é -2.

Substituindo os valores da equação 1 e 2 de "a" por "-2", obteremos os valores de "b" e "c" da fórmula geral:

b = 4a = 4(-2) = - 8

c = -5a = -5(-2) = 10

Substituindo agora na equação geral:

f(x) = ax² + bx + c

f(x) = - 2x² - 8x + 10