Question

As raízes de P(x) = x³ - 9x² + (2k - 7)x - k, k ∈ Z*, estão em progressão aritmética. Se α é a maior raiz de P(x), então k/α vale:


a) 1

b) 3/2

c) 3

d) 5/2

e) 5


Resposta: c

Answer 1

Se a é a maior raiz de p(x), então k/a vale 3.

Se a é a maior raiz de p(x), então a progressão aritmética será da forma (a - 2r, a - r, a), sendo r a razão.

Das relações de Girard temos que as somas das três raízes é igual a menos o quociente entre o termo de x² e o termo de x³:

a - 2r + a - r + a = 9

3a - 3r = 9

a - r = 3

a = 3 + r.

Então, as raízes de p(x) são da forma (-r + 3, 3, r + 3).

A outra relação de Girard nos diz que o produto das três raízes é igual a menos o quociente do termo independente com o termo de maior grau:

(-r + 3).3.(r + 3) = k.

Além disso, multiplicando as raízes duas a duas e somando, o resultado é igual ao quociente do termo de grau 1 pelo termo de maior grau:

3(-r + 3) + (r + 3)(-r + 3) + 3(r + 3) = 2k - 7.

Substituindo o valor de k:

-3r + 9 - r² + 3r - 3r + 9 + 3r + 9 = 2(-r + 3).3.(r + 3) - 7

-r² + 27 = 6(-r² - 3r + 3r + 9) - 7

-r² + 34 = -6r² + 54

5r² = 20

r² = 4

r = ±2.

Como a é a maior raiz, então r = 2.

Assim, o valor de k é:

k = (-2 + 3).3.(2 + 3)

k = 15.

E o valor de a é:

a = 2 + 3

a = 5.

Portanto, a razão k/a é igual a 15/5 = 3.