Question

As raízes da função quadrática f(x)=ax^2+bx+c são \{-2,6\} e o vértice de seu gráfico é o ponto V=(2,16). Assinale a alternativa correta. Escolha uma opção:
a) a×b×c= -16
b) a×b×c= 48
c) a×b×c= - 48
d) a×b×c= 16

Answer 1

Uma função quadrática é da forma :

$\text{f(x) =a.(x} -\text x_1)(\text x- \text x_2)$

$\therefore$

$\text{f(x) = }\text {ax}^2+\text {bx} + \text c$

onde :

$\text x_1,\text x_2 =$ raízes

Temos as raízes de uma função quadrática sendo {-2,6} , portanto :

$\text{f(x)} = \text a(\text x-(-2))(\text x-6) \\\\ \text{f(x)}=\text a(\text x+2)(\text x-6) \\\\ \text {f(x)} = \text a.(\text x^2-4\text x-12)$

Para descobrir o valor de a vamos usar a relação do vértice. Sabendo que o vértice está no ponto (2,16) vamos fazer f(2) = 16

$\text{f(2)} =16 \\\\ 16 = \text a[\ (2)^2 -4.2-12\ ]\\\\ 16 = \text a[\ 4-8-12 \ ] \\\\ 16 = \text a.[\ -16\ ] \\\\ \therefore \\\\\ \boxed{\text a = -1}$

Substituindo na função quadrática :

$\text{f(x)}=\text a(\text x^2-4\text x-12) \\\\ \text {f(x) } = - \text x^2+4\text x+12$

coeficientes :

$\text a = -1 \ , \text b = 4 \ , \text c = 12$

portanto :

$\text {a.b.c} = -1.4.12 \\\\ \huge\boxed{\text{a.b.c} = -48}\checkmark$

letra c

Answer 2

$\boxed{\begin{array}{l}\sf x_v=-\dfrac{b}{2a}\\\sf 2=-\dfrac{b}{2a}\\\sf b=-2\cdot2a\\\sf b=-4a\\\sf f(2)=a\cdot 2^2+b\cdot2+c\\\sf 4a+2b+c=16\\\sf 4a+2\cdot(-4a)+c=16\\\sf 4a-8a+c=16\\\sf -4a+c=16\cdot(-1)\\\sf 4a-c=-16\\\sf f(-2)=a\cdot (-2)^2+b\cdot(-2)+c\\\sf 4a-2b+c=0\\\sf 4a-2\cdot(-4a)+c=0\\\sf 4a+8a+c=0\\\sf 12a+c=0\\\sf c=-12a\\\sf 4a-c=-16\\\sf 4a-(-12a)=-16\\\sf 4a+12a=-16\\\sf 16a=-16\\\sf a=-\dfrac{16}{16}\\\sf a=-1\\\sf b=-4a\\\sf b=-4\cdot(-1)\\\sf b=4\\\sf c=-12a\\\sf c=-12\cdot(-1)=12\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf a\cdot b\cdot c=(-1)\cdot(4)\cdot(12)\\\sf a\cdot b\cdot c=-48\end{array}}$