Question

As raízes da equação x³ - 4x² +5x = 0 são:
a) 0; 2 +i; 2 -i
b) 0; 1; 3
c) 0; i; -i
d) 0
e) 1; 1 + i; 1 - i

Answer 1

As raízes da equação x³ - 4x² + 5x = 0 são:

Explicação passo-a-passo:

x*(x² - 4x + 5) = 0

delta

d² = 16 - 20 = -4

d = √(-4) = 2i

x1 = 0

x2 = (4 + 2i)/2 = 2 + i

x3 = (4 - 2i)/2 = 2 - i

a) 0; 2 + i ; 2 - i

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Amanda, que a resolução é mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se as raízes (reais e complexas) da seguinte equação:

x³ - 4x² + 5x = 0 ----- vamos pôr "x" em evidência, ficando assim:

x*(x² - 4x + 5) = 0 ----- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou

x = 0 ---> x' = 0 <--- Esta é uma raiz real da equação dada.

ou

x² - 4x + 5 = 0 ----- agora vamos encontrar quais são as raízes desta equação do 2º grau, com a aplicação da fórmula de Bháskara, que é esta:

x = [-b ± √(Δ)]/2a ----- sendo Δ = b²-4ac. Assim, fazendo essa substituição, teremos:

x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Note que os coeficientes da função do 2º grau acima [x²-4x+5 =0] são estes: a = 1 (é o coeficiente de x²); b = -4 (é o coeficiente de x); c = 5 (é o coeficiente do termo independente).

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

x = [-(-4) ± √((-4)² - 4*1*5)]/2*1

x = [4 ± √(16 - 20)]/2 ----- note que "16-20 = -4". Logo:

x = [4 ± √(-4)]/2 ------ Veja que √(-4) = √(4)*√(-1). Assim ficaremos com:

x = [4 ± √(4)*√(-1)]/2 ----- veja √(4) = 2; e √(-1) = i . Assim, fazendo essas duas substituições, ficaremos assim:

x = [4 ± 2*i]/2 ----- ou, o que é a mesma coisa:

x = [4 ± 2i]/2 ----- mote que isto significa que cada fator do numerador está sendo dividido por "2". Ou seja, significa isto:

x = 4/2 ± 2i/2 ----- efetuando as divisões indicadas, ficaremos com:

x = 2 ± i ------ ou seja, temos que há duas raízes complexas que são:

x'' = 2-i

e

x''' = 2+i

Mas como já vimos que a equação original [x³ - 4x² + 5x = 0] tem uma raiz real e que é igual a "0", pois já a encontramos antes, então todas as raízes desta equação serão:

0; 2+i; 2-i <---- Esta é a resposta. Opção "a".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.