Question

As raízes da equação x³-2x²-x + 2 =0

Answer 1

Para resolver essa questão, vamos usar o Teorema das raízes racionais, que diz:

• Seja $\boxed{\sf A_nx^{n} + A_{n-1}x^{n-1} + A_1x + A_0 = 0}$ uma equação com coeficientes inteiros. Se p/q (fração irredutível) é uma raiz, então p é divisor de Ao e q é divisor de An.

Sabendo disso, vamos encontrar os divisores de Ao que no caso é o elemento (+2):

$\sf D(2) = \{ - 1, 1, - 2, 2 \}$

Agora vamos encontrar os divisores de An que no caso é o número que se encontra a frente de x³, ou seja, 1:

$\sf D(1) = \{ - 1,1 \}$

Tendo feito isso, temos que achar as possíveis raízes dessa expressão através da relação p/q:

• Possíveis raízes •

$\begin{cases} \sf \frac{p}{q} = \frac{2}{ - 1} = - 2 \\ \\ \sf \frac{p}{q} = \frac{2}{1} = 2 \\ \\ \sf \frac{p}{q} = \frac{1}{1} = 1 \\ \\ \sf \frac{p}{q} = \frac{1}{ - 1} = - 1 \end{cases}$

Essas são as possíveis raízes, para saber de fato quais são raízes ou não dá expressão, devemos substituir tal valor no local de "x", caso o valor após essa substituição for igual a "0", esse número é sim raiz da expressão.

• Vamos começar com x = -1 •

$\sf x {}^{3} - 2x {}^{2} - x + 2 = 0 \\ \sf( - 1) {}^{3} - 2.( - 1) {}^{2} -( - 1) + 2 = 0 \\ \sf - 1 - 2.(1) + 1 + 2 = 0 \\ \sf - 1 - 2 + 1 + 2 = 0 \\ \sf - 3 + 3 = 0 \\ \sf 0 = 0$

Portanto -1 é sim uma raiz da expressão.

Agora vamos descobrir as demais raízes, para isso vamos usar o dispositivo Briot-Ruffini. Do lado esquerdo desse dispositivo fica a raiz que possuímos e do outro lado os coeficientes da expressão.

$\sf 1x {}^{3} - 2x {}^{2} - 1x + 2 = 0 \\ \\ \sf\begin{array}{ r|c } - \sf1& \sf1& \sf - 2& \sf - 1& \sf2 \\ & \sf \underbrace{1}_{grau \: 2}& \sf \underbrace{ - 3}_{grau \: 1}& \sf \underbrace{2}_{grau \: 0} & \sf\underbrace{(0)}_{resto} \\ \\& \sf x {}^{2} - 3x + 2 = 0\end{array} \\ \\ \sf \star \: c \acute{a}lculos : \\ \sf1. (- 1) = - 1 - 2 = - 3 \\ \sf - 3.( - 1) = 3 - 1 = 2 \\ \sf 2.( - 1) = - 2 + 2 = 0$

Agora teremos que resolver aquela equação do segundo grau resultante do Briot-Ruffini:

$\sf x {}^{2} - 3x + 2 = 0 \\ \\ \star \: \sf coeficientes: \begin{cases} \sf a = 1 \\ \sf b = - 3 \\ \sf c = 2 \end{cases} \\ \\ \star \: \sf discriminante : \\ \sf\Delta = b {}^{2} - 4.a.c \\ \sf\Delta = ( - 3) {}^{2} - 4.1.2 \\ \sf \Delta = 9 - 8 \\ \sf \Delta = 1 \\ \\ \star \sf bh \acute{a}skara : \\ \sf x = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2.a} \\ \\ \sf x = \frac{ - ( - 3) \pm \sqrt{1} }{2.1} \\ \\ \sf x = \frac{3 \pm 1}{2} \rightarrow \begin{cases} \sf x_1 = \frac{3 + 1}{2} \\ \sf x_1 = \frac{4}{2} \\ \boxed{\sf x_1 = 2} \\ \\ \sf x_2 = \frac{3 - 1}{2} \\ \sf x_2 = \frac{2}{2} \\ \boxed{\sf x _2 = 1} \end{cases}$

Portanto temos que as raízes desse polinômio são:

$\large\boxed{\sf S = \{ - 1,1,2 \}}$

Espero ter ajudado