Question

As raízes da equação x² - 8x + 12 = 0 são, respectivamente :

2 e 6

-2 e -6

2 e -6

-2 e 6

Answer 1

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:

1.x² - 8.x  + 12 = 0            

a.x² + b.x  + c  = 0

Coeficientes: a = 1, b = (-8), c = 12

OBSERVAÇÃO 1: Quando o coeficiente for 1, ele pode ser omitido, pois está subentendido (assim, em vez de 1.x², tem-se apenas x²). No caso de coeficiente -1, pode-se escrever apenas o sinal de negativo (assim, em vez de -1.x, tem-se -x).

(II)Cálculo do discriminante, utilizando-se dos coeficientes:

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (-8)² - 4 . (1) . (12) ⇒

Δ = 64 - 4 . (1) . (12) ⇒          

Δ = 64 - 4 . 12 ⇒             (Veja a Observação 2.)

Δ = 64 - 48 ⇒          

Δ = 16

OBSERVAÇÃO 2: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam em sinal de negativo (-).

→Como o discriminante (Δ) resultou em um valor maior que zero, a equação x²-8x+12=0 terá duas raízes diferentes.

(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva de equação do segundo grau), utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:

x = (-b +- √Δ) / 2 . a ⇒

x = (-(-8) ± √16) / 2 . (1) ⇒

x = (8 ± 4) / 2 ⇒    

x' = (8 + 4) / 2 = 12/2 ⇒ x' = 6

x'' = (8 - 4) / 2 = 4/2 ⇒ x'' = 2

Resposta: As raízes da equação são 2 e 6.

Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta:

• S={x E R / x = 2 ou x = 6} (leia-se "o conjunto-solução é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a dois ou x é igual a seis") ou

• S={2, 6} (leia-se "o conjunto-solução é constituído pelos elementos dois e seis".)

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo x' = 2 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:

1.x² - 8.x + 12 = 0 ⇒

1 . (2)² - 8 . (2) + 12 = 0 ⇒

1 . (2)(2) - 8 . (2) + 12 = 0 ⇒

1 . 4 - 16 + 12 = 0 ⇒

4 - 16 + 12 = 0 ⇒  

16 - 16 = 0 ⇒         

0 = 0               (Provado que x = 2 é solução (raiz) da equação.)

→Substituindo x' = 6 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:

1.x² - 8.x + 12 = 0 ⇒

1 . (6)² - 8 . (2) + 12 = 0 ⇒

1 . (6)(6) - 8 . (6) + 12 = 0 ⇒

1 . 36 - 48 + 12 = 0 ⇒

36 - 48 + 12 = 0 ⇒  

48 - 48 = 0 ⇒         

0 = 0               (Provado que x = 6 é solução (raiz) da equação.)

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