Question

As raízes da equação x^2+x-42 são o quinto e o sexto termo de uma PA. Determine os quatro elementos desta sequência, nos dois casos possíveis. (PA crescente ou decrescente)

Answer 1

x² + x - 42 = 0
a = 1, b = 1, c = - 42

Δ = b² - 4ac
Δ = 1 - 4 . 1 . (- 42)
Δ = 1 + 168
Δ = 169

x = (- b ± √Δ)/2a
x = (- 1 ± √169)/2 . 1
x = (- 1 ± 13)/2

x' = (- 1 + 13)/2 = 12/2 = 6
x'' = (- 1 - 13)/2 = - 14/2 = - 7


Primeiro caso: a5 = 6, a6 = - 7

r = - 7 - 6
r = - 13

a4 = a5 - r = 6 + 13 = 19
a3 = a4 - r = 19 + 13 = 32
a2 = a3 - r = 32 + 13 = 45
a1 = a2 - r = 45 + 13 = 58

PA (58, 45, 32, 19, 6, -7)


Segundo caso: a5 = - 7, a6 = 6

r = 6 - (- 7)
r = 6 + 7
r = 13

a4 = a5 - r = - 7 - 13 = - 20
a3 = a4 - r = - 20 - 13 = - 33
a2 = a3 - r = - 33 - 13 = - 46
a1 = a2 - r = - 46 - 13 = - 59

PA (- 59, - 46, - 33, - 20, - 7, 6)

Answer 2

x² + x - 42

====

Por fatoração:

x²  +x - 42
(x - 6) . (x + 7)

x' = 6
x'' = -7

===
PA decrescente (r < 0)

a5 = 6
a6 = -7

===
an = ak + ( n - k ).r
6 = -7 + ( 5 - 6 ) . r
6 = -7 - 1.r
6 + 7 = -1. r 
13 / -1 = r
r = -13

Razão =  -13

an = a1 + ( n - 1 ) . r
6 = a1 + ( 5 - 1 ) . ( -13 )
6 = a1 + 4 . ( -13 )
6 = a1 - 52
6 + 52 = a1
a1 = 58

an = a1 + ( n -1) . r  
a2 = 58 + ( 2 -1) . -13
a2 = 58 - 13
a2 = 45


PA ( 58; 45 ; 32 ; 19 ; 6 ; -7 )

===
P A crescente (r > 0)

an = ak + ( n - k ).r
-7 = 6 + ( 5 - 6 ) . r
-7 = 6 - 1.r
-7 - 6 = -1. r 
-13 / -1 = r
r = 13

Razão  = 13


an = a1 + ( n - 1 ) . r
-7 = a1 + ( 5 - 1 ) . 13
-7 = a1 + 4 . 13
-7 = a1 + 52
-7 - 52 = a1
a1 = -59

an = a1 + ( n -1) . r  
a2 = -58 + ( 2 -1) . 13
a2 = -58 + 13
a2 = -45

PA ( -59; -46 ; -33 ; -20 ; -7 ; 6 )