Question

as raízes da equação do 2°gau x2-5x 4=0 são o 1° e o 2° termos de uma pg crescente. determine o 6° termo dessa pg.

Answer 1

Olá.

$x^2-5x+4=0$

$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=(-5)^2-4(4\cdot1)$
$\Delta=25-16$
$\boxed{\Delta=9}$

$x=\dfrac{-b\sqrt{\Delta}}{2a}$
$x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}$
$x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}$
$\boxed{x=\dfrac{5\pm3}{2}}$

$x'=\dfrac{5+3}{2}$
$x'=\dfrac{8}{2}$
$x'=4$

$x"=\dfrac{5-3}{2}$
$x"=\dfrac{2}{2}$
$\boxed{x"=1}$

Temos então...
$a_1=1$
$a_2=4$

Razão é 4.

Assim faremos:
$a_n=a_1\cdot r^(n-1)$
$a_6=1\cdot4^(6-1)$
$a_6=1\cdot4^5$
$a_6=1\cdot1.024$
$\boxed{\boxed{a_6=1.024}}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Sh7, que a resolução é simples.
Tem-se que as raízes da equação abaixo são o 1º e o 2º termos de uma PG CRESCENTE. Determine o 6º termo dessa PG.

x² - 5x + 4 = 0 ----- vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta:

x = [-b+-√(Δ)]/2*a

Veja que os coeficientes da equação da sua questão e o Δ são estes:

a = 1 --- (é o coeficiente de x²)
b = -5 --- (é o coeficiente de x)
c = 4 ---- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b²-4ac = (-5)² - 4*1*4 = 25 - 16 = 9.

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

x = [-(-5)+-√(9)]/2*1
x = [5+-√(9)]/2 ----- como √(9) = 3, teremos;
x = (5+-3)/2 ------ daqui você já conclui que:
x' = (5-3)/2 = (2)/2 = 1
x'' = (5+3)/2 = (8)/2 = 4.

Assim, como a PG é crescente, então o primeiro termo será igual a "1" (a₁ = 1) e o segundo termo será igual a "4" (a₂ = 4).

Veja que se a₁ = 1 e a₂ = 4, então a razão (q) da PG da sua questão será a divisão do termo consequente pelo seu respectivo antecedente. Então a razão (q) será:

q = a₂/a₁ = 4/1 = 4 <--- Esta será a razão da PG da sua questão.

Agora vamos encontrar o 6º termo pela fórmula do termo geral de uma PG, que é dado assim:

an = a₁*qⁿ⁻¹ .

Na fórmula acima "an" é o termo que se quer encontrar. Como queremos encontrar o 6º termo, então substituiremos "an" por "a₆". Por seu turno, substituiremos "a1" por "1", que é o valor do primeiro termo. Por sua vez, substituiremos "q" por "4", que é o valor da razão da PG. E, finalmente, substituiremos "n" por "6", pois estamos querendo encontrar o valor do 6º termo. Assim, fazendo essas substituições, teremos:

a₆ = 1*4⁶⁻¹
a₆ = 1*4⁵ ---- ou apenas:
a₆ = 4⁵ ----- note que 4⁵ = 1.024. Assim:

a₆ = 1.024 <--- Esta é a resposta. Este é o 6º termo pedido.

Bem, a resposta já está dada. Agora, por mera curiosidade, vamos ver quais são todos os 6 termos dessa PG. Para isso, basta ir aplicando a razão (q = 4) a partir do primeiro termo (a₁ = 1) e encontramos os demais termos da PG.
Logo:

a₁ = 1
a₂ = 1*4 = 4
a₃ = 4*4 = 16
a₄ = 16*4 = 64
a₅ = 64*4 = 256
a₆ = 256*4 = 1.024 <--- Olha aí como é verdade: o 6º termo é 1.024 realmente.

Assim, a PG crescente, com todos os seus 6 termos será esta:

(1; 4; 16;  64; 256; 1.024)

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.