Question

as raízes da equação (2m 1)x2−(3m−1)x m=0 são medidas dos catetos de um triângulo retângulo de hipotenusa 1 . o valor de m é um número:

Answer 1

Com o estudo sobre equação do 2° grau, temos como resposta $\begin{bmatrix}\mathrm{Solucao:}\:&\:m\le \:-2\sqrt{6}+5\quad \mathrm{or}\quad \:m\ge \:2\sqrt{6}+5\:\\ \:\mathrm{Decimal:}&\:m\le \:0.10102\dots \quad \mathrm{or}\quad \:m\ge \:9.89897\dots \\ \mathrm{Notacao\:intervalo}&\:(-\infty \:,\:-2\sqrt{6}+5]\cup \:[2\sqrt{6}+5,\:\infty \:)\end{bmatrix}$

Ou seja, m terá um valor irracional

Equações do segundo grau completas

Uma equação do segundo grau é completa quando todos os seus coeficientes são diferentes de zero, ou seja, se b e c são diferentes de zero. Para obter a solução, utilizamos a fórmula

• $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

O sinal $\pm$ indica que podem existir duas soluções

• $\begin{cases}x_{_2}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&\\ x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&\end{cases}$

As soluções só existirão quando o radicando for positivo ou nulo. O radicando b² - 4ac é denominado discriminante e seu símbolo é Δ. O número de soluções depende do sinal de Δ e pode ser determinado antes mesmo da resolução da equação.

• Δ = b²-4ac > 0: A equação tem duas raízes reais distintas: $\begin{cases}x_{_2}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&\\ x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&\end{cases}$

• Δ = b²-4ac = 0: A equação só tem uma raiz dupla: $x=\frac{-b}{2a}$

• Δ = b²-4ac < 0: Não existe raiz quadrada $\sqrt{b^2-4ac}$ e a equação não tem raiz real.

Com isso a equação $(2m+1)x^2-(3m-1)x+m=0$ só terá raiz se Δ ≥ 0. Vamos reescrever a equação da seguinte forma

• $\left(2m+1\right)x^2+\left(1-3m\right)x+m=0$.

Com isso, temos $\Delta =\left(1-3m\right)^2-4\left(2m+1\right)m\ge 0$

Completando quadrados, teremos

• $\left(m-5\right)^2-24\ge \:0$

Somando 24 em ambos os lados da desigualdade

• $\left(m-5\right)^2-24+24\ge \:0+24$

• $\left(m-5\right)^2\ge \:24$

• $\mathrm{Para\:}u^n\:\ge \:\:a\mathrm{,\:se\:}n\:\mathrm{e\:par}\mathrm{\:entao\:}u\:\le \:\:-\sqrt[n]{a}\:or\:u\:\ge \sqrt[n]{a}$

• $m-5\le \:-\sqrt{24}\quad \mathrm{ou}\quad \:m-5\ge \sqrt{24}$

• $m\le \:-2\sqrt{6}+5\quad \mathrm{ou}\quad \:m\ge \:2\sqrt{6}+5$

Saiba mais sobre equação do 2° grau:https://brainly.com.br/tarefa/9847148

#SPJ11