Question

As progressoes aritmeticas (9, 13, 17, ...) e (4, 7, 10, ...) tem 100 elementos cada uma. Determine a quantidade de termos iguais nas duas progressoes.

Answer 1

Olá.

Antes de começar, temos de conhecer alguns conceitos de Progressões Aritméticas (P.A), como razão e termo geral.

A razão (r) consiste nos iguais acréscimos que recebem os termos, para que deem continuidade a progressão. Como esses acréscimos são iguais, podem ser calculados como a diferença entre dos termos.

$\mathsf{r=a_n-a_{n-1}}$

Termo Geral consiste em uma forma de encontrar a lei de formação de uma progressão, com o intuito de saber qual o valor de um aₙ (n-ésimo termo). Abaixo, demonstro o termo geral da PA com o primeiro.

$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}$

Com base no que foi falado acima, vamos a resolução do problema.

Temos as progressões:

PA₁ = {04, 07, 10, ..., a₁₀₀}
PA₂ = {09, 13, 17, ..., a₁₀₀}

Demonstro abaixo a razão da primeira PA (r₁) e da segunda (r₂).

$\mathsf{r_1=a_2-a_1\rightarrow7-4=3}\\\\\mathsf{r_2=a_2-a_1\rightarrow13-9=4}$

Com as razões, podemos prolongar as progressões, buscando os termos repetidos. Vamos aumentar até o 10° de cada PA, destacando os iguais.

$\mathsf{P.A_1=\{4,7,10,\overbrace{13},16,19,22,\overbrace{25},28,31\}}\\\\\mathsf{P.A_2=\{09,\underbrace{13},17,21,\underbrace{25},29,33,37,41,45\}}$

Dois termos que se repetiram foram: 13 e 25.

Assim como o produto (que é igual ao MMC nesse caso) de 3 e 4 é 12, a diferença entre os termos também é 12. Vamos precisar desse dado mais tarde, mas agora, vamos calcular quais são os últimos termos das P.As a partir do termo geral.

a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) • r
a₁₀₀ = a₁ + (100 - 1) • r
a₁₀₀ = a₁ + (99) • r
a₁₀₀ = a₁ + 99r

Contextualizando a cada P.A, vamos aos cálculos.

PA₁ | a₁₀₀ = a₁ + 99r
PA₁ | a₁₀₀ = 4 + 99(3)
PA₁ | a₁₀₀ = 4 + 297
PA₁ | a₁₀₀ = 301

PA₂ | a₁₀₀ = a₁ + 99r
PA₂ | a₁₀₀ = 9 + 99(4)
PA₂ | a₁₀₀ = 9 + 396
PA₂ | a₁₀₀ = 405

Agora, vamos voltar a falar dos números que se repetem. Descobrimos acima que o primeiro termo da repetição é 13, e os próximos tem uma "razão de repetição" igual a 12. Com isso, podemos montar uma PA, onde o último termo igual tem de ser igual ou menor que o menor a₁₀₀ (no caso, 301). Vamos aos cálculos.

$\mathsf{a_1+(n-1)\cdot r\leq a_n}\\\\ \mathsf{13+(n-1)\cdot12\leq301}\\\\ \mathsf{13+12n-12\leq301}\\\\ \mathsf{1+12n\leq301}\\\\ \mathsf{12n\leq301-1}\\\\ \mathsf{12n\leq300}\\\\ \mathsf{n\leq\dfrac{300}{12}}\\\\ \boxed{\mathsf{n\leq25}}$

Como resultado, temos que a quantidade de termos iguais é 25.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.