Question

As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 50%, 40% e 80%. Se cada um bater um único pênalti, qual a probabilidade do goleiro sofrer apenas um gol?

Answer 1

Resposta:  A probabilidade de o goleiro sofrer apenas um gol é de 34%.

Explicação passo a passo:

Chamemos $A,\,B$ e $C$ os seguintes eventos:

    Evento $A:$ O primeiro jogador marca o gol ao cobrar o pênalti.

    Evento $B:$ O segundo jogador marca o gol ao cobrar o pênalti.

    Evento $C:$ O terceito jogador marca o gol ao cobrar o pênalti.

Os eventos $A,\,B$ e $C$ são eventos independentes, pois o fato de um jogador marcar o gol ao cobrar o pênalti não interfere na probabilidade de outro jogador também marcar o gol. Então, nesse caso, a probabilidade da interseção de quaisquer desses eventos é o produto das probabilidades individuais.

Queremos calcular a probabilidade de, se cada jogador bater um único pênalti, o goleiro sofrer exatamente um gol.

Isso pode acontecer de três formas distintas (e disjuntas).

•     Evento $E_1:$ Apenas o primeiro jogador marca o gol ao cobrar o pênalti.

A probabilidade deste evento acontecer é

    $p(E_1)=p(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})\\\\ =p(A)\cdot p(\overline{B})\cdot p(\overline{C})\\\\ =p(A)\cdot (1-p(B))\cdot (1-p(C))\\\\=0,\!50\cdot (1-0,\!40)\cdot (1-0,\!80)\\\\=0,\!50\cdot 0,\!60\cdot 0,\!20\\\\ =0,\!06=6\%\qquad\checkmark$

•     Evento $E_2:$ Apenas o segundo jogador marca o gol ao cobrar o pênalti.

    $p(E_2)=p(\overline{A}\cap B\cap \overline{C})\\\\ =p(\overline{A})\cdot p(B)\cdot p(\overline{C})\\\\ =(1-p(A))\cdot p(B)\cdot (1-p(C))\\\\=(1-0,\!50)\cdot 0,\!40\cdot (1-0,\!80)\\\\=0,\!50\cdot 0,\!40\cdot 0,\!20\\\\ =0,\!04=4\%\qquad\checkmark$

•     Evento $E_3:$ Apenas o terceiro jogador marca o gol ao cobrar o pênalti.

    $p(E_3)=p(\overline{A}\cap \overline{B}\cap C)\\\\ =p(\overline{A})\cdot p(\overline{B})\cdot p(C)\\\\ =(1-p(A))\cdot (1-p(B))\cdot p(C)\\\\=(1-0,\!50)\cdot (1-0,\!40)\cdot 0,\!80\\\\=0,\!50\cdot 0,\!60\cdot 0,\!80\\\\ =0,\!24=24\%\qquad\checkmark$

Como os eventos $E_1,\,E_2$ e $E_3$ são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união destes três eventos é igual à soma das probabilidades individuais.

Portanto, a probabilidade de, após cada jogador bater um único pênalti, o goleiro sofrer apenas um gol é

    $p(E_1\cup E_2\cup E_3)=p(E_1)+p(E_2)+p(E_3)\\\\=6\%+4\%+24\%\\\\=34\%\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos!