Question

As possíveis coordenadas de um vetor v = (x, y) do R
2 de

comprimento igual a 5 e perpendicular ao vetor w = (2, −1) são:
(A) v = (−√5, 2√5)
(B) v = (√5, 2√5)
(C) v = (√5, −2√5)
(D) v = (√2, 5√2)

Answer 1

As possíveis coordenadas do vetor v são v = (√5,2√5).

Primeiramente, como o vetor v = (x,y) é perpendicular ao vetor w = (2,-1), então o produto interno entre os vetores é igual a 0, ou seja,

<v,w> = 0

2.x - 1.y = 0

2x - y = 0.

Além disso, temos a informação de que o comprimento do vetor v é igual a 5, ou seja,

$\sqrt{x^2+y^2}=5$

x² + y² = 25.

Da equação 2x - y = 0 podemos dizer que y = 2x. Substituindo na equação acima, temos que:

x² + (2x)² = 25

x² + 4x² = 25

5x² = 25

x² = 5

x = √5 ou x = -√5.

Se x = √5, então y = 2√5. Assim, temos o vetor v = (√5,2√5).

Se x = -√5, então y = -2√5. Assim, temos o vetor v = (-√5,-2√5).