Question

As populações de duas cidades,A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções

A(t) = log8 (1 + t)6    e    B(t) = log2 (4t + 4),

onde a variável t representa o tempo em anos. 
a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t=1 e t=7? 
b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante. 

Answer 1

a) Para fazer a letra 'A' é simples. Basta aplicar o conceito básico de logaritmo. Acompanhando o raciocínio da pra entender a questão! Vamos lá!

$A(1) = log 8(1+1).6$

$A(1) = 6.log 8(2)$

$A(1) = 6. \frac{log2}{log8}$

$A(1) = 6. \frac{log2}{log 2^{3} }$

$A(1) = \frac{6.log2}{3.log2}$

$A(1) = 2$ --> 2.000 habitantes


$A(7) = log 8(1+7).6$

$A(7) = 6.log 8(8)$

$A(7) = \frac{6.log8}{log8}$

$A(7) = 6$ --> 6.000 habitantes


$B(1) = log 2[4.(1)+4)$

$B(1) =log 2(4+4)$

$B(1) =log 2(8)$

$B(1) = \frac{log8}{log2}$

$B(1) = \frac{log 2^{3}}{log 2 }$

$B(1) = \frac{3.log2}{log2}$

$B(1) = 3$ --> 3.000 habitantes


$B(7) = log 2[4.(7)+4)$

$B(7) =log 2(28+4)$

$B(7) =log 2(32)$

$B(7) = \frac{log32}{log2}$

$B(7) = \frac{log 2^{5}}{log 2 }$

$B(7) = \frac{5.log2}{log2}$

$B(7) = 5$ --> 5.000 habitantes


b) Para descobrir quando a população delas se igualam para que, desta forma, seja possível notar a partir de que data elas irão começar a se distinguir definitivamente. 
Sendo assim, precisamos fazer: A(t) = B(t).
Antes disso, precisamos colocar as duas funções na mesma base para que possamos comparar uma com a outra, pois lembre-se: não se compara banana com maçã, não é mesmo?!

Comecemos pelo A(t)!
$A(t) = 6.log_{8} (1+t)$
$A(t) = 6.log_{ 2^{3}} (1+t)$
$A(t) = 6 ( \frac{1}{3}) log_{2} (1+t)$
$A(t) = 2.log_{2} (1+t)$

Agora o B(t)!
$B(t)=log_{2}(4t+4)$
$B(t)=log_{2}[4(t+1)]$
$B(t)=log_{2}4 + log_{2}t+1$
$B(t)=2 + log_{2}t+1$

Agora podemos fazer a igualdade!
$2.log_{2} (1+t)=2 + log_{2}t+1$
$2.log_{2} (t+1)=2 + log_{2}t+1$
$log_{2} (1+t)=2$

Agora precisamos observar! Qual é o log que na base 2 seja igual a 2?
O 4, correto? Já que $log_{2} 4=2$

Desta forma, percebemos que 1 + t precisa ser igual a 4. Sendo assim?
1 + t = 4
t = 4 -1
t = 3 anos --> Igual ou acima de 3 anos a população de uma das cidades sempre será maior que a da outra.

Para descobrir, basta analisar as respostas da letra a, pois quando t =7 (maior que 3 anos) a cidade A tem 6.000 habitantes enquanto que a cidade B tem 5.000 habitantes, ou seja, a cidade A sempre terá  a população maior que a cidade B quando o t for igual ou superior a 3 anos.
Caso queira confirmar, bastar aplicar t = 3 na função de cada cidade! Vamos lá!!!

$A(3) = log 8(1+3).6$

$A(3) = 6.log 8(4)$

$A(3) = 6. \frac{log4}{log8}$

$A(3) = 6. \frac{log 2^{2}}{log 2^{3} }$

$A(3) = \frac{12.log2}{3.log2}$

$A(3) = 4$ --> 4.000 habitantes


$B(3) = log 2[4.(3)+4)$

$B(3) =log 2(12+4)$

$B(3) =log 2(16)$

$B(3) = \frac{log16}{log2}$

$B(3) = \frac{log 2^{4}}{log 2 }$

$B(3) = \frac{4.log2}{log2}$

$B(3) = 4$ --> 4.000 habitantes

Answer 2

1) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t=1 e t=7? 

$A(1)=log_8(1+1)^6 \\ A(1)=log_8(2^6) \\ A(1)=log_864 \\ \boxed{A(1)=8} \\ \\ A(7)=log_8(1+7)^6 \\ A(7)=log_88^6 \\ A(7)=8.log_88 \\ {A(7)=8.1 \\ \boxed{A(7)=8}$

$B(1)=log_2(4.1+4) \\ B(1)=log_28 \\ \boxed{B(1)=3} \\ \\ B(7)=log_2(4.7+4) \\ B(7)=log_232 \\ \boxed{B(7)=5}$

b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante. 

2)

$log_8(1+t)^6=log_2(4t+4) \\ 6log_8(1+t)=log_24(1+t) \\ 6.\frac{log_2(1+t)}{log_28}=log_24+log(1+t) \\ 6.\frac{log_2(1+t)}{3}=2+log_2(1+t) \\ 2log_2(1+t)=2+log_2(1+t) \\ \\ y=log_2(1+t) \\ \\ 2y=2+y \\ \\ 2y-y=2 \\ \\ y=2$

$log_2(1+t)=2 \\ 1+t=4 \\ \boxed{t=3}$

A partir de tempo t = 3 a função A se torna maior do que a função B