Question

As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log4 (2 + t)5 e B(t) = Log2 (2t + 4)², nas quais a variável t representa o tempo em anos. Elas terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
Obrigada a todas as respostas <3

Answer 1

Esta questão se trata de Equações logarítmicas, sabemos que para descobrir o tempo "t" em que as duas cidades terão a mesma população devemos igualar as duas funções:

A(t) = B(t)

log₄ (2 + t)⁵ = log₂ (2t + 4)²

5 . log₄ (2+t) = 2 . log₂ (2t+4)

Fazendo a mudança de base, temos:

5 . log₂ (2+t) / log₂ (4) = 2 . log₂ (2t+4)

5 . log₂ (2+t) / log₂ (2²) = 2 . log₂ (2t+4)

5/2 . log₂ (2+t) / log₂ (2) = 2 . log₂ (2t+4)

5/2 . log₂ (2+t) / 1 = 2 . log₂ (2t+4)

5/4 = log₂ (2t+4) / log₂ (2+t)

Através da igualdade de frações, podemos dizer que:

- log₂ (2t+4) = 5

- log₂ (2+t) = 4

Utilizando a regra básica dos logaritmos, temos:

2⁵ = 2t + 4

32 = 2t + 4

28 = 2t

t = 14 anos

e

2⁴ = 2 + t

16 = 2 + t

t = 14 anos

Resposta: (E).