as placas de veículos atuais são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos considerando alfabeto Considerando o alfabeto de 26 letras quantas placas distintas podem ser fabricadas de modo que:
os algarismos sejam distintos?
as letras e os algarismos sejam distintos?
So algarismos pares distintos de vogais apareçam?
Não apareça a letra J nem um algarismo maior que 6?
só apareçam algarismos ímpares e em ordem crescente?
Soluções para a tarefa
Podem ser fabricadas: a) 88583040 placas; b) 78624000 placas; c) 15000 placas; d) 37515625 placas; e) 87880 placas.
Vamos considerar que os traços a seguir representam as três letras e os quatro algarismos das placas: _ _ _ - _ _ _ _.
a) Para as letras, existem 26 casos para cada traço.
Para os algarismos, teremos 10.9.8.7 casos, pois queremos que eles sejam distintos.
Assim, o total de placas é igual a 26³.10.9.8.7 = 88583040.
b) Agora, queremos que ambos sejam distintos.
Então, para as letras teremos 26.25.24 modos e para os números teremos 10.9.8.7.
Portanto, o total de placas é igual a: 26.25.24.10.9.8.7 = 78624000.
c) Os números 0, 2, 4, 6 e 8 são pares. No alfabeto, temos as vogais a, e, i, o, u.
Então, para as letras existem 5.5.5 modos e para os números existem 5.4.3.2, pois queremos que eles sejam distintos.
Portanto, o total de placas é igual a 5.5.5.5.4.3.2 = 15000.
d) Se não queremos que a letra j apareça, então restam 25 letras.
Assim, para as letras existem 25.25.25 modos.
Não queremos que apareça um número maior que 6, ou seja, não pode aparecer os número 7, 8 e 9. Sobram, então, 7 números.
Assim, para os números existem 7.7.7.7 modos.
Portanto, o total de placas é: 25.25.25.7.7.7.7 = 37515625.
e) Os algarismos ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9.
Queremos que eles apareçam em ordem crescente.
Então, temos as seguintes possibilidades:
1357
1359
1379
1579
3579
Portanto, para os números temos 5 modos.
Já para as letras temos 26.26.26 modos.
Logo, o total de placas é igual a 5.26.26.26 = 87880.
O total de possibilidades de placas para cada alternativa é:
a) 88583040; b) 78624000; c) 15000; d) 37515625; e) 87880.
Para responder esse enunciado é preciso que você tenha um conhecimento básico em análise combinatória.
O princípio fundamental da contagem (PFC) ou princípio multiplicativo significa a multiplicação de todas as possibilidades. Sendo assim iremos utilizar o PFC para resolvermos esse exercício.
- Letra A
Apenas os algarismos distintos, portanto as possibilidades de cada espaço são:
__26__ * __26__ * __26__ * __10__ * __9__ * __8__ * __7__
= 26³ * 10 * 9 * 8 * 7 = 88583040
- Letra B
Algarismos e letras distintos, portanto as possibilidades de cada espaço são:
__26__ * __25__ * __24__ * __10__ * __9__ * __8__ * __7__
= 26 * 25 * 24 * 10 * 9 * 8 * 7 = 78624000
- Letra C
Apenas os algarismos pares distintos e vogais, portanto as possibilidades de cada espaço são:
__5__ * __5__ * __5__ * __5__ * __4__ * __3__ * __2__
= 5 * 5 * 5 * 5 * 4 * 3 * 2 = 15000
- Letra D
Não aparecer letra J e nenhum algarismo maior que 6, dessa forma, as possibilidades de cada espaço são:
__25__ * __25__ * __25__ * __7__ * __7__ * __7__ * __7__
= 25 * 25 * 25 * 7 * 7 * 7 * 7 = 37515625
- Letra E
Algarismos ímpares em ordem crescente, dessa forma as possibilidades de cada espaço são:
__26__ * __26__ * __26__ * __5__
= 26³ * 5 = 87880
Para não ter dúvidas, serão 5 possibilidade de placas com números ímpares em ordem crescente, pois:
1357 ; 1359; 1379; 1579; 3579
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